微分法則：以展開求導核對乘積與鏈式規則

目標與範圍

以升冪係數列表 f=[2,0,1]、g=[1,3]（即 f(x)=2+x²、g(x)=1+3x）：先由導數定義證明三次以下多項式的求導公式；再以兩條獨立路徑求 (fg)' 與 (f∘g)'——展開後求導，以及使用乘積、鏈式規則——並確認兩者對每個 x 相同；同時核對和與純量倍的規則，指出 f'g'、漏乘內導數、外導數取錯點、反讀係數等錯誤，最後求 x=1 的值。

只處理 MKO 的多項式切片（輸入至多三次、升冪列表）。和、純量倍、乘積、鏈式規則本身引自 MKO，本稿只對這組 f、g 以多項式恆等式核對它們，並由定義證明三次以下多項式的求導公式；不證明一般可微函數的規則。不改動 canonical MKO 或英文 edition。

已知條件與符號

• distributive
• power_laws
• abs_rules
• order_basics
• frac_rules
• composition_def
• numeric_evaluation

• G1 — 多項式以升冪係數列表表示：[a0,a1,a2,a3] 表示 a0+a1x+a2x²+a3x³；末端零正規化；全實數論域。
• G2 — f=[2,0,1]，g=[1,3]。
• G3 — 純量 c=−4；求值點 x=1。

• [a_0,a_1,a_2,a_3] — 升冪係數列表 a0+a1x+a2x²+a3x³
• f',\ g' — f、g 的導函數
• fg,\ f\circ g — 乘積與合成 f(g(x))
• R,\ M — 差商的餘項與其界

規則與來源

• distributive · prerequisite — 分配律：u(v+w)=uv+uw；配合乘法交換律也有 (v+w)u=vu+wu。
• power_laws · prerequisite — 整數指數律（底數非零或指數為正整數）：a^m·a^n=a^{m+n}，(a^m)^n=a^{mn}，(ab)^n=a^n b^n，a^0=1。
• abs_rules · prerequisite — 絕對值（實數）：|u|=u（u≥0）、|u|=−u（u<0）；|u|≥0；|uv|=|u||v|；三角不等式 |u+v|≤|u|+|v|；|u|<r ⇔ −r<u<r。
• order_basics · prerequisite — 實數的序：任兩數恰有 u<v、u=v、u>v 之一；u<v 且 v<w 推出 u<w；u<v 推出 u+w<v+w；u<v 且 w>0 推出 uw<vw；u<v 且 w<0 推出 uw>vw。
• frac_rules · prerequisite — 分數運算（分母皆非零）：a/c+b/c=(a+b)/c；(a/b)(c/d)=(ac)/(bd)；(a/b)/(c/d)=(ad)/(bc)（另需 c≠0）；a/b=(ak)/(bk)（k≠0）。
• composition_def · prerequisite — 合成：對 f:A→B 與 g:B→C，g∘f:A→C 定義為 (g∘f)(a)=g(f(a))。
• numeric_evaluation · prerequisite — 明確整數或有理數算式的精確求值；可以獨立重算。
• def_unfold · prerequisite — 展開定義：把一個已定義的詞換成它的定義內容（或反向收回），命題的真假不變。
• add_inverse · prerequisite — 加法反元素：每個 u 都有 −u，使 u+(−u)=0；u−v 定義為 u+(−v)。
• mul_inverse_nonzero · prerequisite — 非零數的倒數：在 ℚ、ℝ、ℂ 中，若 u≠0，存在 1/u 使 u·(1/u)=1；對 u≠0 定義 v/u 為 v·(1/u)。u=0 時沒有倒數，v/0 不定義。
• forall_intro · prerequisite — ∀引入（全稱推廣）：若某命題對一個「任意的」元素 x 證成，而證明沒有對 x 加任何額外假設，則它對論域中所有 x 成立。
• mul_comm · prerequisite — 乘法交換律：uv=vu（在交換的數系中，例如 ℤ、ℚ、ℝ、ℂ）。
• eq_refl_symm_trans · prerequisite — 等號的性質：u=u；若 u=v 則 v=u；若 u=v 且 v=w 則 u=w。
• quantifier_negation · prerequisite — 量詞否定：¬(∀x, P(x)) 等價於 ∃x, ¬P(x)；¬(∃x, P(x)) 等價於 ∀x, ¬P(x)。
• mko_deriv_rules · cited — 在相應點可微的實函數有 (f+g)'=f'+g'、(cf)'=cf'、(fg)'=f'g+fg'；若 g 在 x 可微且 f 在 g(x) 可微，(f∘g)'(x)=f'(g(x))g'(x)。本輪 f、g 是全 ℝ 多項式，以常數項起算的升冪係數列表表示。 · mko-derivative-rules
• mko_derivative_def · cited — 對 f:ℝ→ℝ，f 在 x 的導數是 lim_(h→0,h≠0)(f(x+h)−f(x))/h，若此兩側有限極限存在。 · mko-derivative
• L_poly_deriv3 · lemma — 對 p(x)=c0+c1x+c2x²+c3x³（實係數）與每個實數 x：p 在 x 可微且 p'(x)=c1+2c2x+3c3x²；即列表 [c0,c1,c2,c3] 的導數列表為 [c1,2c2,3c3]。

逐步主鏈

[a_0,a_1,a_2,a_3]

a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3

f=[2,0,1],\ g=[1,3]

f(x)=2+x^2,\ g(x)=1+3x

p(x)=c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3

p'(x)=c_1+2c_2x+3c_3x^2\ (\forall x\in\mathbb{R})

f=[2,0,1],\ g=[1,3]

f'(x)=2x\ ([0,2]),\quad g'(x)=3\ ([3])

f(x)g(x)=(2+x^2)(1+3x)

2+6x+x^2+3x^3\ \to\ [2,6,1,3]

[2,6,1,3]

(fg)'(x)=6+2x+9x^2\ \to\ [6,2,9]

f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

2x(1+3x)+(2+x^2)\cdot 3=6+2x+9x^2=(fg)'(x)

f'(x)g'(x)

2x\cdot 3=6x;\ x=0:\ 0\neq 6=(fg)'(0)

(f\circ g)(x)=f(1+3x)

2+(1+3x)^2=3+6x+9x^2\ \to\ [3,6,9]

[3,6,9]

(f\circ g)'(x)=6+18x\ \to\ [6,18]

f'(g(x))\,g'(x)

2(1+3x)\cdot 3=6+18x=(f\circ g)'(x)

f'(x)g'(x),\ f'(g(x))

6x,\ 2+6x;\ x=0:\ 0\neq 6,\ 2\neq 6

f+g=[3,3,1],\ -4f=[-8,0,-4]

(f+g)'=[3,2]=[0,2]+[3],\ (-4f)'=[0,-8]=-4\cdot[0,2]

(fg)'(1),\ (f\circ g)'(1)

6+2+9=17,\ 6+18=24

局部子步與引理

(x+h)^2-x^2,\ (x+h)^3-x^3

h(2x+h),\ h(3x^2+3xh+h^2)

\frac{p(x+h)-p(x)}{h}\ (h\neq 0)

(c_1+2c_2x+3c_3x^2)+h\,R,\quad R=c_2+c_3(3x+h)

0<|h|\le 1

|R|\le M=|c_2|+|c_3|(3|x|+1)

\varepsilon>0,\ \delta=\min\left(1,\tfrac{\varepsilon}{M+1}\right)

0<|h|<\delta\Rightarrow|h||R|\le|h|M<\delta(M+1)\le\varepsilon;\ p'(x)=D

逐步反向審查

• S14 · inverse_equivalence · numeric_evaluation — 精確求值。
• S13 · premise_audit · S03, S04, mko_deriv_rules — 兩條路徑對照；不證明一般的和、純量規則。
• S12 · premise_audit · S04, S10, quantifier_negation — 每個錯誤公式各以一點的反例否定。
• S11 · premise_audit · S04, S10, mko_deriv_rules — 前提：g 在 x 可微、f 在 g(x) 可微，S04 給出兩者處處可微。
• S10 · premise_audit · S09, S03 — 不用鏈式規則。
• S09 · inverse_equivalence · composition_def, distributive — 定義代入與展開都是等式，雙向成立。
• S08 · premise_audit · S04, S06, quantifier_negation — 一個反例否定「兩函數相等」。
• S07 · premise_audit · S04, S06, mko_deriv_rules — 規則的前提（f、g 在 x 可微）由 S04 提供；一致性只對這組 f、g 驗證，不證明一般的乘積規則。
• S06 · premise_audit · S05, S03 — 不用乘積規則，只用 S03 的引理。
• S05 · inverse_equivalence · distributive — 恆等式，雙向成立。
• S04 · premise_audit · S02, S03 — 直接代入引理。
• S03.4 · premise_audit · S03.2, S03.3, mko_derivative_def, forall_intro — 用 M+1 而非 M，避免 M=0 時除以 0；嚴格不等來自 |h|<δ。
• S03.3 · premise_audit · abs_rules, order_basics — 只給上界；需要 |h|≤1，這在 S03.4 由 δ≤1 保證。
• S03.2 · inverse_equivalence · frac_rules, distributive — h≠0 時乘除 h 互逆。
• S03.1 · inverse_equivalence · distributive, power_laws — 恆等式，雙向成立。
• S03 · premise_audit · L_poly_deriv3, mko_derivative_def — 引理只涵蓋三次以下；本稿所有求導的多項式都在此範圍內。
• S02 · inverse_equivalence · def_unfold — 由多項式讀回升冪列表得原列表，雙向一致。
• S01 · premise_audit · G1, mko_deriv_rules — 此步只固定讀法。

錯誤控制與反例

乘積的導數不是導數的乘積

MKO 的誤解之一是乘積導數直接乘兩導數。f'g'=6x，而 (fg)'=6+2x+9x²；x=0 時 0≠6（S08）。正確的是 f'g+fg'（S07），它與展開後求導（S06）一致。

鏈式規則：外導數在 g(x) 取值，再乘內導數

另兩個誤解：外導數在 x 取值得 6x，漏乘內導數得 2+6x（S12），都與正確的 6+18x 不同。若內函數是常數，例如 g=[5]，則 f∘g 是常數 f(5)=27，導數 0，鏈式規則也給 f'(5)·0=0，這個零結果要保留。

係數列表是升冪

把 [2,0,1] 反讀成 2x²+1 會得到導數 4x 而不是 2x，輸入多項式因而改變，後續公式或數值可能錯；某些測點即使偶然相同，也不能使反讀約定正確。末端補零（[2,0,1,0]）是同一個多項式，不是新題；乘積與合成可能升次，新項不能截掉（S05）。

• (fg)'=f'g'=6x → reject — (fg)'=6+2x+9x²；x=0 時 6≠0。
• (f∘g)'(x)=f'(x)g'(x)=6x → reject — 外導數要在 g(x) 取值；正確為 6+18x。
• (f∘g)'(x)=f'(g(x))=2+6x → reject — 漏乘內導數 g'(x)=3。
• [2,0,1] 表示 2x²+0x+1 → reject — 列表是升冪，[2,0,1]=2+x²。
• f 是二次、g 是一次，所以 (fg)' 至多一次，可以略去 x² 項 → reject — fg 是三次，(fg)'=6+2x+9x² 是二次；不能截掉新項。

結論與限制

f=[2,0,1]=2+x²、g=[1,3]=1+3x，f'=2x、g'=3。fg=[2,6,1,3]，(fg)'=[6,2,9]=6+2x+9x²，與 f'g+fg' 對每個 x 相同；f'g'=6x 錯誤。f∘g=[3,6,9]，(f∘g)'=[6,18]=6+18x，與 f'(g(x))g'(x)=2(1+3x)·3 相同；f'(x)g'(x)=6x 與 f'(g(x))=2+6x 都錯誤。(f+g)'=[3,2]、(−4f)'=[0,−8]。在 x=1：(fg)'(1)=17，(f∘g)'(1)=24。

• 和、純量、乘積、鏈式規則引自 MKO，本稿只對這組 f、g 以多項式恆等式核對，不證明一般可微函數的規則；引理 L_poly_deriv3 只涵蓋三次以下多項式，三次輸入的乘積（至多六次）不在本稿求導範圍內。

驗證及來源綁定

13 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

• source commit: b28a5edbd46279b1db2a3f3f48bb3f447e18899f
• adopted source SHA-256: d018b0ec61f9ad721df0ccc4872b72a742b428f70ec5a6bc3709008d1983cb9f
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• Lean: NOT_RUN · independent AI: NOT_MEASURED

同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）