離散隨機過程：由完整路徑分布導出邊際與兩時刻聯合分布，並檢驗 Markov 性與平穩性

目標與範圍

時域 {0,1,2}、狀態 {0,1}。完整路徑支撐與精確 PMF 為 (0,0,0):1/4、(0,1,1):1/4、(1,0,1):1/8、(1,1,0):1/8、(1,1,1):1/4。(1) 核對支撐與 PMF，建立機率空間並說明 X_0、X_1、X_2 是同一空間上的隨機變數；(2) 求三個時刻的邊際分布與 (X_1,X_2) 的聯合分布；(3) 證明這個過程不平穩、不具 Markov 性；(4) 構造一個邊際相同但聯合分布不同的路徑律，說明邊際表不等於完整過程。

只處理 G1、G2 指定的有限時域路徑律（MKO 假設 a1、a2）。不外推到無限時間、轉移律、平穩性或遍歷性；Markov 性只在時刻 1 以定義檢驗。比較用的乘積律 Q 只用來顯示邊際不決定聯合分布。不改動 canonical MKO 或其英文 edition。

已知條件與符號

• prob_axioms
• finite_sum_rules
• image_preimage_def
• cartesian_product_def
• function_def

• G1 — 時域 {0,1,2}，狀態 {0,1}。支撐列出 5 條長度 3 的路徑：ω_1=(0,0,0)、ω_2=(0,1,1)、ω_3=(1,0,1)、ω_4=(1,1,0)、ω_5=(1,1,1)（MKO 假設 a1：互異等長的完整有限路徑支撐）。
• G2 — 精確 PMF：p(ω_1)=1/4、p(ω_2)=1/4、p(ω_3)=1/8、p(ω_4)=1/8、p(ω_5)=1/4；支撐外的路徑機率為 0。
• G3 — 比較律 Q：在 {0,1}^3 上定義 Q(x_0,x_1,x_2)=p_0(x_0)p_1(x_1)p_2(x_2)，其中 p_n 是 G2 之律下 X_n 的邊際（在 S07 到 S09 求得）。

• \Omega=\{\omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4,\omega_5\} — 完整路徑支撐
• p(\omega) — 精確路徑 PMF
• X_n(\omega)=\omega_n — 時刻 n 的座標（n=0,1,2）
• P — 由 p 導出的機率律 P(A)=Σ_{ω∈A}p(ω)
• p_n(s)=P(X_n=s) — 時刻 n 的邊際
• Q — 邊際的乘積律（比較用）

規則與來源

• prob_axioms · prerequisite — 機率公理：P(A)≥0；P(Ω)=1；兩兩互斥事件的（可數）聯集機率等於各機率之和。由此 P(∅)=0、P(Aᶜ)=1−P(A)。
• finite_sum_rules · prerequisite — 有限和：Σ_{i=1}^{0} a_i=0、Σ_{i=1}^{n+1} a_i=Σ_{i=1}^{n} a_i + a_{n+1}；Σ(a_i+b_i)=Σa_i+Σb_i；Σ c·a_i=c·Σa_i。
• image_preimage_def · prerequisite — 像與原像：f(S)={f(a) ∣ a∈S}；f⁻¹(T)={a∈A ∣ f(a)∈T}。原像記號不預設 f 有反函數。
• cartesian_product_def · prerequisite — 笛卡兒積：A×B 是所有有序對 (a,b)（a∈A、b∈B）的集合；(a,b)=(c,d) ⇔ a=c 且 b=d。
• function_def · prerequisite — 函數：f:A→B 對每個 a∈A 指定恰好一個 f(a)∈B。兩函數相等 ⇔ 定義域、對應域相同且對每個 a 都有相同值。
• def_unfold · prerequisite — 展開定義：把一個已定義的詞換成它的定義內容（或反向收回），命題的真假不變。
• case_analysis · prerequisite — 分情況論證：若 P∨Q 成立，且 P⇒R、Q⇒R 都已證，則 R 成立。所有情況必須涵蓋全部可能。
• numeric_evaluation · prerequisite — 明確整數或有理數算式的精確求值；可以獨立重算。
• set_operations_def · prerequisite — 集合運算：x∈A∪B ⇔ x∈A 或 x∈B；x∈A∩B ⇔ x∈A 且 x∈B；x∈A∖B ⇔ x∈A 且 x∉B；在全集 U 中 Aᶜ=U∖A。
• set_builder · prerequisite — 集合建構式：x∈{y∈A ∣ P(y)} 當且僅當 x∈A 且 P(x)。
• contrapositive · prerequisite — 逆否命題：P⇒Q 與 ¬Q⇒¬P 等價。逆命題 Q⇒P 一般不與 P⇒Q 等價。
• frac_rules · prerequisite — 分數運算（分母皆非零）：a/c+b/c=(a+b)/c；(a/b)(c/d)=(ac)/(bd)；(a/b)/(c/d)=(ad)/(bc)（另需 c≠0）；a/b=(ak)/(bk)（k≠0）。
• quantifier_negation · prerequisite — 量詞否定：¬(∀x, P(x)) 等價於 ∃x, ¬P(x)；¬(∃x, P(x)) 等價於 ∀x, ¬P(x)。
• distributive · prerequisite — 分配律：u(v+w)=uv+uw；配合乘法交換律也有 (v+w)u=vu+wu。
• mul_one · prerequisite — 乘法單位元：1·u=u。
• and_intro_elim · prerequisite — 合取：由 P 與 Q 得 P∧Q；由 P∧Q 可分別得 P 與 Q。
• mko_process_def · cited — 離散時間隨機過程 (X_n) 是同一機率空間上的隨機變數族。以有限時域完整路徑分布指定 joint law，從而導出各時刻 marginal 與兩時刻 joint；這不自動給 Markov 性或 stationarity。 · mko-discrete-stochastic-process
• p_cond_prob · prerequisite — 條件機率：P(B)>0 時 P(A∣B)=P(A∩B)/P(B)；P(B)=0 時不定義。
• p_markov_def · prerequisite — Markov 性（在時刻 1）：對所有 h、i、j 且 P(X_0=h, X_1=i)>0，P(X_2=j ∣ X_1=i, X_0=h)=P(X_2=j ∣ X_1=i)。一個過程具 Markov 性，必須在每個時刻都滿足這樣的條件。
• p_stationary_nec · prerequisite — （嚴格）平穩：時間平移不改變任何聯合分布；其必要條件之一是所有單一時刻的邊際分布相同。
• L_marginal · lemma — 對 n∈{0,1,2} 與 s∈{0,1}：P(X_n=s)=Σ_{ω∈Ω, ω_n=s} p(ω)；兩時刻聯合 P(X_m=s, X_n=t) 同理為 Σ_{ω_m=s, ω_n=t} p(ω)。
• L_product_marg · lemma — 若 q_0、q_1、q_2 是 {0,1} 上的機率向量，Q(x_0,x_1,x_2)=q_0(x_0)q_1(x_1)q_2(x_2)，則 Q 的時刻 n 邊際是 q_n。

逐步主鏈

(X_n)_{n\in\{0,1,2\}}\ \text{process}

X_0,X_1,X_2:\Omega\to\{0,1\}\ \text{on one}\ (\Omega,\mathcal{F},P);\ \text{law}=\text{path PMF}

\omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4,\omega_5\in\{0,1\}^3

\omega_k\ \text{pairwise distinct},\ \text{each of length}\ 3

p=(\tfrac14,\tfrac14,\tfrac18,\tfrac18,\tfrac14)

p(\omega_k)\ge0,\ \ \sum_{k=1}^{5}p(\omega_k)=1

\Omega,\ p

(\Omega,\mathcal{P}(\Omega),P),\ \ P(A)=\sum_{\omega\in A}p(\omega)\ \text{satisfies the axioms}

X_n(\omega)=\omega_n

X_0,X_1,X_2\ \text{random variables on the same}\ (\Omega,\mathcal{P}(\Omega),P)

P(X_n=s)

\sum_{\omega\in\Omega,\ \omega_n=s}p(\omega)

P(X_0=0),\ P(X_0=1)

p_0=(\tfrac12,\tfrac12)

P(X_1=0),\ P(X_1=1)

p_1=(\tfrac38,\tfrac58)

P(X_2=0),\ P(X_2=1)

p_2=(\tfrac38,\tfrac58)

P(X_1=s,\ X_2=t)

(0,0):\tfrac14,\ (0,1):\tfrac18,\ (1,0):\tfrac18,\ (1,1):\tfrac12

p_0=(\tfrac12,\tfrac12),\ p_1=(\tfrac38,\tfrac58)

p_0\neq p_1\ \Rightarrow\ \text{not stationary}

P(X_2=1\mid X_1=1,\ X_0=0)

\frac{P(\{\omega_2\})}{P(\{\omega_2\})}=\frac{1/4}{1/4}=1

P(X_2=1\mid X_1=1,\ X_0=1)

\frac{P(\{\omega_5\})}{P(\{\omega_4,\omega_5\})}=\frac{1/4}{3/8}=\frac23

P(X_2=1\mid X_1=1)=\frac{1/2}{5/8}=\frac45

1\neq\tfrac23:\ \text{the Markov condition fails at time 1}

Q(x_0,x_1,x_2)=p_0(x_0)p_1(x_1)p_2(x_2)

Q\ \text{has marginals}\ p_0,p_1,p_2,\ \text{but}\ Q(X_1=1,X_2=1)=\tfrac{25}{64}\neq\tfrac12

\text{S05 to S15}

p_0,p_1,p_2,\ \text{joint}(X_1,X_2);\ \text{not stationary};\ \text{not Markov};\ \text{marginals do not determine the law}

局部子步與引理

A\cap B=\emptyset

P(A\cup B)=\sum_{\omega\in A\cup B}p(\omega)=\sum_{\omega\in A}p(\omega)+\sum_{\omega\in B}p(\omega)

\{X_n=s\}=X_n^{-1}(\{s\})

\{\omega\in\Omega\mid\omega_n=s\},\ \ P(X_n=s)=\sum_{\omega_n=s}p(\omega)

\{X_0=0\}\cap\{X_1=1\}

\{\omega_2\};\quad \{X_0=1\}\cap\{X_1=1\}=\{\omega_4,\omega_5\};\quad \{X_1=1\}=\{\omega_2,\omega_4,\omega_5\}

\sum_{x_1,x_2}q_0(x_0)q_1(x_1)q_2(x_2)

q_0(x_0)\Big(\sum_{x_1}q_1(x_1)\Big)\Big(\sum_{x_2}q_2(x_2)\Big)=q_0(x_0)\cdot1\cdot1

Q(X_1=1,X_2=1)=\sum_{x_0}p_0(x_0)p_1(1)p_2(1)

1\cdot\tfrac58\cdot\tfrac58=\tfrac{25}{64}

逐步反向審查

• S16 · premise_audit · S05, S10, S11, S14, S15 — 只是合取已證結論；所有結論都只針對 G1、G2 這個有限時域實例。
• S15.2 · inverse_equivalence · distributive, numeric_evaluation — 精確有理數計算，可由 N15、N16 重算。
• S15.1 · inverse_equivalence · distributive, finite_sum_rules — 展開與因式分解互逆，雙向成立；最後一步需要各 q_n 的總和為 1。
• S15 · premise_audit · L_product_marg, S10 — 只需一個邊際相同而聯合不同的例子，就否定「邊際決定過程」。Q 本身的 Markov 性或其他性質在這裡不需要。
• S14 · premise_audit · p_markov_def, S12, S13 — 否定 Markov 性只需一組 (h,i,j) 失敗；兩個條件事件的機率都為正（1/4 與 3/8），所以比較是合法的。
• S13 · inverse_equivalence · p_cond_prob, numeric_evaluation — 分母為正，定義是等式；數值可由 N12 重算。
• S12.1 · inverse_equivalence · set_operations_def, G1 — 完整列舉 5 條路徑，交集定義雙向成立。
• S12 · inverse_equivalence · p_cond_prob, numeric_evaluation — 條件機率的定義在分母為正時是一個等式，兩邊同值；分母為 0 時這一步不能做。
• S11 · premise_audit · p_stationary_nec, contrapositive — 只用到必要條件的逆否；反向（邊際相同推出平穩）不宣稱，也一般不成立。
• S10 · inverse_equivalence · L_marginal, numeric_evaluation — 聯合表的行（row）和與列（column）和回到邊際，是一致性核對；反過來，邊際無法唯一決定聯合表（S15）。
• S09 · inverse_equivalence · S06, numeric_evaluation — 與 S08 相同的計算方式；邊際相同不表示 X_1=X_2（見錯誤控制 3）。
• S08 · inverse_equivalence · S06, numeric_evaluation — 3/8+5/8=1，兩組路徑分割 Ω。
• S07 · inverse_equivalence · S06, numeric_evaluation — 每個數都可由 N2、N3 重算；兩組路徑恰好分割 Ω，所以和為 1 是一個獨立核對。
• S06.1 · inverse_equivalence · image_preimage_def, set_operations_def — 原像與集合建構式雙向對應；不需要 X_n 可逆。
• S06 · inverse_equivalence · L_marginal, image_preimage_def — 兩邊是同一個數的兩種寫法：左邊是事件 {X_n=s} 的機率，右邊是依 P 的定義展開的和。
• S05 · premise_audit · S04, function_def, image_preimage_def — 冪集事件族讓可測性自動成立；在一般事件族下要另外核原像。
• S04.1 · premise_audit · finite_sum_rules, set_operations_def — 不交是必要條件；若有重疊，重疊路徑的質量會被算兩次。
• S04 · premise_audit · S03, prob_axioms, finite_sum_rules — 需要 S02 的互異性，否則同一路徑會被重複計算；有限性讓可數可加化為有限可加（至多 5 個非空互斥事件）。
• S03 · premise_audit · G2, numeric_evaluation — 非負與總和為 1 兩個條件都要核；總和只近似為 1 不算合法 PMF。
• S02 · premise_audit · G1, cartesian_product_def — 分組論證涵蓋全部 10 對：跨組的對由較早的坐標分開，組內的對由後面的坐標分開。互異性保證每條路徑只被計一次質量。
• S01 · premise_audit · mko_process_def — 只展開定義；「同一個機率空間」是關鍵：各 X_n 若各自定義在不同空間上，就沒有時間間的依賴可談。

錯誤控制與反例

邊際表不是完整過程

MKO 指出的誤解是把各時刻的邊際分布集合當成完整隨機過程。S15 的乘積律 Q 與原律有完全相同的三個邊際，卻給 P(X_1=1,X_2=1)=25/64 而非 1/2。時間之間的依賴只記錄在完整路徑律中（MKO 段落 0），邊際把它丟掉了。

不要自動宣稱 Markov

Markov 性是對條件分布的責任，必須用定義檢驗（MKO 段落 2）。這裡 P(X_2=1∣X_1=1,X_0=0)=1 而 P(X_2=1∣X_1=1,X_0=1)=2/3，所以已知現在仍需過去。另外條件事件必須有正機率才可比較；本稿用到的兩個條件事件機率為 1/4 與 3/8。

邊際相同不表示變數相同

X_1 與 X_2 有相同的邊際 (3/8,5/8)，但它們不是同一個隨機變數：在 ω_3 上 X_1=0、X_2=1，在 ω_4 上 X_1=1、X_2=0，所以 P(X_1≠X_2)=1/8+1/8=1/4（N17）。分布相同只是說兩個律相同，不是說逐點相等。

• 知道 X_0、X_1、X_2 的三個邊際表就知道整個過程 → reject — 乘積律 Q 有相同邊際，但 Q(X_1=1,X_2=1)=25/64≠1/2（S15）。
• 任何有限時域的離散過程都具 Markov 性 → reject — 本例 P(X_2=1∣X_1=1,X_0=0)=1≠2/3=P(X_2=1∣X_1=1,X_0=1)（S12 到 S14）。
• X_1 與 X_2 同分布，所以 X_1=X_2 幾乎必然成立 → reject — P(X_1≠X_2)=P({ω_3,ω_4})=1/4>0。
• 由 {0,1,2} 上的路徑律可以讀出一個對所有時刻都適用的轉移律 → reject — MKO 假設 a2 明示有限時域聯合律不外推到無限時間或轉移律；而且本例連時刻 1 的轉移都依賴 X_0。

結論與限制

邊際 p_0=(1/2,1/2)、p_1=(3/8,5/8)、p_2=(3/8,5/8)；(X_1,X_2) 的聯合分布為 (0,0):1/4、(0,1):1/8、(1,0):1/8、(1,1):1/2。過程不平穩（p_0≠p_1），也不具 Markov 性（P(X_2=1∣X_1=1,X_0=0)=1、P(X_2=1∣X_1=1,X_0=1)=2/3、P(X_2=1∣X_1=1)=4/5）。邊際相同的乘積律給 P(X_1=1,X_2=1)=25/64≠1/2，所以邊際表不是完整的過程。

• Markov 性只在時刻 1 檢驗；本稿不討論三點時域 {0,1,2} 以外的情形。時刻 0 在此時域沒有更早的觀察過去；這不是另作無限時域 Markov 性的宣稱。
• 乘積律 Q 是否具 Markov 性與本稿結論無關，未加證明。
• 有限 Markov 鏈、轉移矩陣與路徑機率（MKO 的 formal next）另見後續條目。

驗證及來源綁定

17 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• Lean: NOT_RUN · independent AI: NOT_MEASURED

同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）