雙基底與covector換基

目標與範圍

對b₁=(1,1)、b₂=(1,−1)，φ₁=(x+y)/2、φ₂=(x−y)/2為雙基底。

R²明示泛函、全稱線性及四個pairings；不作無額外結構的典範識別。

已知條件與符號

• calc

• G1 — V=R²，B=((1,1),(1,−1))，P=[[1,1],[1,−1]]為基底column矩陣。

• V^* — 實線性對偶空間
• \phi_i — 雙基底泛函
• P — primal基底columns

規則與來源

• calc · prerequisite — 假設通常實數域與座標向量運算、矩陣乘法、線性獨立及生成的定義；所用消去均為可逆初等列運算。
• mko_definition · cited — 本輪限有限維V=R^n，以row covector給出線性泛函的symbolic全稱證書，並以phi_i(v_j)=delta_ij核dual basis。primal vector與dual functional不混同；沒有額外內積時不宣稱V與V*典範識別。 · mko-dual-vector-space

逐步主鏈

\alpha b_1+\beta b_2=(\alpha+\beta,\alpha-\beta)

(x,y)=\frac{x+y}{2}b_1+\frac{x-y}{2}b_2\text{ uniquely}

\phi_1(x,y)=\frac{x+y}{2},\quad\phi_2(x,y)=\frac{x-y}{2}

\phi_i(au+bv)=a\phi_i(u)+b\phi_i(v)\quad(i=1,2)

b_1=(1,1)

\phi_1(b_1)=1,\quad\phi_2(b_1)=0

b_2=(1,-1)

\phi_1(b_2)=0,\quad\phi_2(b_2)=1

\ell\in V^*,\quad v=\alpha b_1+\beta b_2

\ell(v)=\alpha\ell(b_1)+\beta\ell(b_2)=\ell(b_1)\phi_1(v)+\ell(b_2)\phi_2(v)

a\phi_1+b\phi_2=0\text{ as functions}

\text{evaluate at }b_1,b_2:\quad a=b=0

[v]_{\rm std}=P[v]_B

[v]_B=P^{-1}[v]_{\rm std},\quad P^{-1}=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}

\ell(x,y)=3x+y,\quad[\ell]_{\rm std}=(3,1)

[\ell]_B=(3,1)P=(4,2),\quad\ell(v)=4\alpha+2\beta

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1, S01, S07 — 代入x=α+β,y=α−β得4α+2β，核同一泛函。
• S07 · premise_audit · G1, S01 — P與P^{-1}不可混用，即使本例只差純量。
• S06 · premise_audit · G1, S03, S04, S05 — 零函數意味所有輸入值皆零，所以可在兩個基底向量核。
• S05 · premise_audit · G1, S01, S02, S03, S04 — ℓ是任意的，不是只檢查特定幾個函數。
• S04 · premise_audit · G1, S02, S03 — φ₂(b₂)=(1−(−1))/2=1，需保留負號。
• S03 · premise_audit · G1, S02 — (1−1)/2為0，不能兩格皆1。
• S02 · premise_audit · G1, S01 — φᵢ輸出實數；泛函不等同primal向量。
• S01 · premise_audit · G1 — 除2合法，未用尚待證的雙基底來證B。

錯誤控制與反例

四pairings

逐對核全部δᵢⱼ，不只對角格。

型別

V*是函數空間，row座標需指定基底。

• b₁與φ₁是同一典範物件。 → reject — 一個是向量，一個是V→R函數。
• φ₁(b₂)=1。 → reject — (1+(−1))/2=0。
• covector換基也乘P^{-1}。 → reject — 本例ℓ的B值為(4,2)，不是(2,1)。

結論與限制

對b₁=(1,1)、b₂=(1,−1)，φ₁=(x+y)/2、φ₂=(x−y)/2為雙基底。

驗證及來源綁定

2 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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