方向、全部degree與walk核對

目標與範圍

按loop-free simple convention核完整digraph。

n≥1；不混用無向degree或loop模型。

已知條件與符號

• work

• G1 — V={0,1,2}，有向E={(0,1),(1,0),(1,2)}，以lexicographic排序；walk候選W=(0,1,2)。

• V,E — 完整頂點與邊集合
• d+,d- — out與in degree

規則與來源

• mko_definition · cited — 固定loop-free simple convention：每edge=(u,v)、u!=v，(u,v)與(v,u)不同，E為set故同向parallel duplicates禁止。out-degree與in-degree分開，兩者全圖總和皆等於|E|。walk每一步必須符合edge orientation；loops由negative boundary拒絕。 · mko-finite-directed-graph
• work · prerequisite — 有向邊為ordered pairs；out-degree計第一座標、in-degree計第二座標；walk逐步尊重方向。 simple loop-free digraph的邊為唯一ordered pairs且兩端不同；反向pair是不同邊；directed walk每步方向必在E。

逐步主鏈

E=((0,1),(1,0),(1,2))

\text{unique ordered pairs, all endpoints in }V,\quad u\ne v

v=0

d^+(0)=1,\quad d^-(0)=1

v=1

d^+(1)=2,\quad d^-(1)=1

v=2

d^+(2)=0,\quad d^-(2)=1

\sum_vd^+(v),\quad\sum_vd^-(v)

1+2+0=3=|E|,\quad1+1+1=3=|E|

W=(0,1,2)

(0,1)\in E,\quad(1,2)\in E

W'=(2,1,0)

(2,1)\notin E\implies W'\text{ invalid}

(1,1)\text{ proposed addition}

u=v\implies\text{rejected under this convention}

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1, S07, work — 重複加入(0,1)也違反simple set模型。
• S07 · premise_audit · G1, S06, work — (1,2)存在不補出(2,1)。
• S06 · premise_audit · G1, S05, work — 無向相鄰不足以核有向walk。
• S05 · premise_audit · G1, S04, work — 不能把單個總和寫成2|E|，那是兩總和合併。
• S04 · premise_audit · G1, S03, work — 三頂點全分類完成。
• S03 · premise_audit · G1, S02, work — 逆向兩邊互不抵消。
• S02 · premise_audit · G1, S01, work — incoming與outgoing分別計。
• S01 · premise_audit · G1, work — (0,1)與(1,0)並不duplicate。

錯誤控制與反例

方向

每step查ordered pair本身，不查unordered化結果。

完整degree

三頂點in/out都列出，再分開總和。

• (0,1)與(1,0)是同邊。 → reject — ordered pairs方向不同。
• out-degree總和6。 → reject — 它為3=|E|，不是2|E|。
• W'沿原walk反向故合法。 → reject — (2,1)不在E。

結論與限制

out=(1,2,0)、in=(1,1,1)，各總和3；W合法而反向W'不合法。

驗證及來源綁定

2 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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