point0的完整固定群元素

目標與範圍

Stab_G(0)={e,s}為子群；Stab_G(3)=G，與orbit及action kernel不同。

同一完整作用的point stabilizer，直接核全部乘積與逆元。

已知條件與符號

• calc

• G1 — G={e,r,r²,s,rs,r²s}，依序編碼(0,0),(1,0),(2,0),(0,1),(1,1),(2,1)。乘法(i,j)(k,l)=(i+(−1)^j k mod3,j+l mod2)。點載體X={0,1,2,3}；(i,j)作用x<3為i+(−1)^j x mod3，並固定3。

• G — 六元素群載體
• r,s — r³=e,s²=e,sr=r²s的labels
• H — point0的stabilizer

規則與來源

• calc · prerequisite — 假設精確模3、模2整數算術、有限集合外延相等與群／作用的定義；不預設此運算已為群。
• mko_definition · cited — 在同一完整認證作用G作用X上，Stab_G(x)={g:g·x=x}須遍歷全部g。完整驗identity、product closure與inverse closure；單一fixed element、action kernel與orbit均不可混同stabilizer。 · mko-finite-group-stabilizer

逐步主鏈

G=\{e,r,r^2,s,rs,r^2s\}

\begin{array}{c|cccccc}*&e&r&r^2&s&rs&r^2s\\\hline e&e&r&r^2&s&rs&r^2s\\r&r&r^2&e&rs&r^2s&s\\r^2&r^2&e&r&r^2s&s&rs\\s&s&r^2s&rs&e&r^2&r\\rs&rs&s&r^2s&r&e&r^2\\r^2s&r^2s&rs&s&r^2&r&e\\\end{array}

(i,j)(k,l)=(i+(-1)^jk,j+l)\quad(\bmod(3,2))

((i,j)(k,l))(m,n)=(i+(-1)^jk+(-1)^{j+l}m,j+l+n)=(i,j)((k,l)(m,n));\quad e=(0,0);\quad(i,j)^{-1}=(-(-1)^ji,j)

X=\{0,1,2,3\}

\begin{array}{c|cccc}\cdot&0&1&2&3\\\hline e&0&1&2&3\\r&1&2&0&3\\r^2&2&0&1&3\\s&0&2&1&3\\rs&1&0&2&3\\r^2s&2&1&0&3\\\end{array}

g=e,r,r^2,s,rs,r^2s

g\cdot0=0,1,2,0,1,2

H=\{g:g\cdot0=0\}

H=\{e,s\},\quad e\in H

H=\{e,s\}

\begin{array}{c|cc}*&e&s\\\hline e&e&s\\s&s&e\end{array}

e^{-1}=e,\quad s^{-1}=s

H^{-1}=H\Rightarrow H\le G

g\cdot3=3\quad\forall g\in G

\operatorname{Stab}_G(3)=G\ne H

s\cdot1=2,\quad rs\cdot0=1,\quad r^2s\cdot0=2,\quad r\cdot0=1,\quad r^2\cdot0=2

\{g:g\cdot x=x\ \forall x\in X\}=\{e\}\ne\operatorname{Stab}_G(0)

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S09 · premise_audit · G1, S03, S05, S08 — action kernel要求所有point，stabilizer只要求指定0，量詞不同。
• S08 · premise_audit · G1, S03, S05 — 不能把point3的群大小代入point0的公式。
• S07 · premise_audit · G1, S02, S05, S06 — stabilizer的子群結論已直接核，不因大小2自動成立。
• S06 · premise_audit · G1, S01, S05 — 使用同一父群表，不能另外替H設乘法。
• S05 · premise_audit · G1, S04 — H屬G的子集；orbit0則屬point載體X。
• S04 · premise_audit · G1, S03 — 找到e不能停止，還有非單位s也固定0。
• S03 · premise_audit · G1, S02 — 表格對每個g與每個point恰有一值；相容式涵蓋全部6²·4=144 triples，不是只核每列像排列。
• S02 · premise_audit · G1, S01 — 指數j+l只依mod2，因(−1)²=1，公式對所有代表一致；逆元清單e,r²,r,s,rs,r²s完整。
• S01 · premise_audit · G1 — labels依序綁定六個pair，故同名r²不代表額外第七元素。

錯誤控制與反例

同一群表

全部積、逆元與cosets綁定這個完整Cayley表。

完整枚舉

任何全稱有限性質都需全載體或全稱公式，不用proper sample。

• Stab(0)={e}因只核identity。 → reject — s·0=0亦成立。
• Stab(0)=orbit0。 → reject — 前者是群元素{e,s}，後者points{0,1,2}。
• point stabilizer就是action kernel。 → reject — s固定0但把1送2，所以不在action kernel。

結論與限制

Stab_G(0)={e,s}為子群；Stab_G(3)=G，與orbit及action kernel不同。

驗證及來源綁定

0 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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