函數映射：判定對應是否為函數，並分辨陪域、值域與圖形

目標與範圍

設 X={−2,−1,0,1,2}、Y={0,1,2,3,4,5}，f:X→Y，f(x)=x²。證明 f 是函數；算出值域 f(X)={0,1,4} 並說明 f(X)≠Y；寫出圖形 Γ_f；說明把陪域改成 {0,1,4} 會得到不同的函數。再判定兩個非例：反向規則 s(y)=「X 中滿足 x²=y 的 x」不是 Y→X 的函數；g(x)=x+4 不是 X→Y 的函數。

只處理明示的有限集合 X、Y 之間的純數學總函數（MKO 假設 a1、a2）。有限集合上的全稱語句以完整窮舉核對。不給出部分函數的形式定義，不綁定 Lean 定理 function_total_unique，也不處理程式語意；不改動 canonical MKO 或英文 edition。

已知條件與符號

• function_def
• image_preimage_def
• injective_surjective_def
• cartesian_product_def
• finite_forall

• G1 — X={−2,−1,0,1,2}，Y={0,1,2,3,4,5}，兩者都是明示的整數集合（假設 a1）。
• G2 — f:X→Y 由規則 f(x)=x² 給出。
• G3 — 兩個比較用的規則：s 從 Y 到 X，s(y) 為「X 中滿足 x²=y 的 x」；g 從 X 到 Y，g(x)=x+4。

• X,\ Y — 定義域與陪域
• f(X) — 值域：實際輸出之集
• \Gamma_f — 圖形：有序對 (x,f(x)) 之集
• f_1 — 同一規則、陪域改為 {0,1,4} 的函數
• s,\ g — 兩個要判定的對應規則

規則與來源

• function_def · prerequisite — 函數：f:A→B 對每個 a∈A 指定恰好一個 f(a)∈B。兩函數相等 ⇔ 定義域、對應域相同且對每個 a 都有相同值。
• image_preimage_def · prerequisite — 像與原像：f(S)={f(a) ∣ a∈S}；f⁻¹(T)={a∈A ∣ f(a)∈T}。原像記號不預設 f 有反函數。
• injective_surjective_def · prerequisite — 單射：f(a)=f(a′) ⇒ a=a′。滿射：每個 b∈B 都有 a∈A 使 f(a)=b。雙射：既單又滿，此時有唯一反函數 f⁻¹ 使 f⁻¹∘f=id_A、f∘f⁻¹=id_B。
• cartesian_product_def · prerequisite — 笛卡兒積：A×B 是所有有序對 (a,b)（a∈A、b∈B）的集合；(a,b)=(c,d) ⇔ a=c 且 b=d。
• def_intro · prerequisite — 引入定義：可為一個命題、式子或物件取名；之後名稱與被定義者可互相替換。
• def_unfold · prerequisite — 展開定義：把一個已定義的詞換成它的定義內容（或反向收回），命題的真假不變。
• numeric_evaluation · prerequisite — 明確整數或有理數算式的精確求值；可以獨立重算。
• neg_mul · prerequisite — 負號與乘法：(−u)v=−(uv)，(−u)(−v)=uv。
• eq_refl_symm_trans · prerequisite — 等號的性質：u=u；若 u=v 則 v=u；若 u=v 且 v=w 則 u=w。
• forall_intro · prerequisite — ∀引入（全稱推廣）：若某命題對一個「任意的」元素 x 證成，而證明沒有對 x 加任何額外假設，則它對論域中所有 x 成立。
• and_intro_elim · prerequisite — 合取：由 P 與 Q 得 P∧Q；由 P∧Q 可分別得 P 與 Q。
• set_extensionality · prerequisite — 集合相等：A=B 當且僅當 A⊆B 且 B⊆A，即兩者有相同元素。
• quantifier_negation · prerequisite — 量詞否定：¬(∀x, P(x)) 等價於 ∃x, ¬P(x)；¬(∃x, P(x)) 等價於 ∀x, ¬P(x)。
• finite_counting_basics · prerequisite — 有限計數：互斥有限集合 A、B 有 |A∪B|=|A|+|B|；|A×B|=|A|·|B|；有限集之間存在雙射 ⇔ 元素個數相同。
• exists_intro · prerequisite — ∃引入：若找到 a∈D 使 P(a) 成立，則 ∃x∈D, P(x)。
• mko_function_def · cited — 函數 f:X→Y 對 X 中每一個輸入指定 Y 中唯一一個輸出；陪域 Y 不必等於實際值域。 · mko-function-mapping
• finite_forall · prerequisite — 有限列舉集合上的量詞：若 X 以列舉給出，則 ∀x∈X, P(x) 等價於每個列出的元素都滿足 P；∃x∈X, P(x) 等價於至少一個列出的元素滿足 P。
• graph_def · prerequisite — 函數圖形：f:X→Y 的圖形是 Γ_f={(x,f(x)) ∣ x∈X}，它是 X×Y 的子集合。
• L_no_root_2 · lemma — X 中沒有 x 使 x²=2。

逐步主鏈

\text{rule }x\mapsto x^2

f:X\to Y,\ X=\{-2,-1,0,1,2\},\ Y=\{0,1,2,3,4,5\},\ f(x)=x^2

f:X\to Y\ \text{is a function}

\forall x\in X:\ x^2\in Y\ \land\ \forall y,y'\ (y=x^2\land y'=x^2\Rightarrow y=y')

(-2)^2,\ (-1)^2,\ 0^2,\ 1^2,\ 2^2

4,\ 1,\ 0,\ 1,\ 4

f(x)\in\{4,1,0,1,4\}

\forall x\in X:\ f(x)\in Y

y=x^2,\ y'=x^2

y=y'

\text{existence (S04)},\ \text{uniqueness (S05)}

f:X\to Y\ \text{is a function}

f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}

f(X)=\{0,1,4\}

f(X)=\{0,1,4\}\subseteq Y,\ 2\in Y

2\notin f(X),\ f(X)\neq Y

\Gamma_f=\{(x,f(x))\mid x\in X\}

\Gamma_f=\{(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4)\}\subseteq X\times Y

f(-1)=1,\ f(1)=1

f(-1)=f(1),\ -1\neq 1:\ f\ \text{not injective}

f_1:X\to\{0,1,4\},\ f_1(x)=x^2

f_1\ \text{is a surjective function},\ f_1\neq f

y=1:\ \{x\in X\mid x^2=1\}

\{-1,1\}:\ \text{two candidate outputs}

y=2:\ \{x\in X\mid x^2=2\}

\varnothing:\ \text{no output}

g(2)=2+4

g(2)=6\notin Y:\ g\ \text{is not a function }X\to Y

f,\ f_1,\ s,\ g

f,f_1\ \text{functions};\ f(X)=\{0,1,4\}\neq Y;\ s,g\ \text{not functions as declared}

局部子步與引理

\neg\exists x\in X:\ x^2=2

\forall x\in X:\ x^2\neq 2

x^2\in\{4,1,0,1,4\}\ (x\in X)

\forall x\in X:\ x^2\neq 2

f_1(x)\in\{4,1,0,1,4\}

f_1:X\to\{0,1,4\}\ \text{is a function}

0=f_1(0),\ 1=f_1(1),\ 4=f_1(2)

f_1\ \text{is surjective}

\text{codomain of }f_1=\{0,1,4\},\ \text{codomain of }f=Y

f_1\neq f

逐步反向審查

• S15 · sufficient_goal_reduction · S06, S07, S08, S09, S11, S12, S13, S14, and_intro_elim — 目標 G 是題目各項結論的合取；每一項都由所列步驟正向證成，此步只做合取，沒有把 G 當作前提。
• S14 · premise_audit · mko_function_def, G1, numeric_evaluation — 一個輸出落在陪域外就足以否定 g:X→Y；對 g:X→ℤ 的肯定只用到整數對加法封閉。
• S13 · premise_audit · L_no_root_2, mko_function_def — 只需一個沒有輸出的輸入；結論依賴 X 的具體內容。
• S12 · premise_audit · mko_function_def, S03 — 一個違反唯一性的輸入就足以否定是函數。
• S11.3 · premise_audit · function_def, set_extensionality — 依賴「陪域是函數資料的一部分」這個約定（function_def，與 MKO 一致）；若只把函數看作圖形，f 與 f₁ 會被視為相同，本稿不採這個約定。
• S11.2 · premise_audit · injective_surjective_def, finite_forall — 陪域三個元素逐一給出原像，是完整檢查。
• S11.1 · premise_audit · S03, S05, finite_forall, mko_function_def — 需要每個輸出都落在新陪域中；這是對 X 的完整檢查。
• S11 · premise_audit · function_def, injective_surjective_def — 三個子結論各由一個子步給出；不宣稱 f₁ 是單射（f₁(−1)=f₁(1)）。
• S10 · premise_audit · injective_surjective_def, S03 — 一組反例就足以否定單射；不宣稱這影響 f 是否為函數（S06 已證 f 是函數）。
• S09 · inverse_equivalence · graph_def, finite_forall, set_extensionality — 對 X 的每個元素各有一對，列舉與定義元素相同，雙向成立。
• S08.2 · premise_audit · S03, finite_forall — 五個元素全部檢查，所以對 X 是完整的；N6 以 x=−2 到 2 的整數重做同一檢查，那正是 X 的全部元素。
• S08.1 · inverse_equivalence · quantifier_negation — 量詞否定本身是等價，雙向成立。
• S08 · premise_audit · L_no_root_2, set_extensionality, injective_surjective_def — 一個屬於 Y 而不屬於 f(X) 的元素就足以否定 f(X)=Y。2∉f(X) 依賴對 X 全部輸入的檢查（引理）；在 ℝ 中 x²=2 有解 √2，所以結論只對這個 X 成立。
• S07 · inverse_equivalence · image_preimage_def, set_extensionality, finite_forall — y∈f(X) ⇔ 有某個 x∈X 使 f(x)=y；依 finite_forall 逐一對照五個輸入，兩邊元素相同，雙向成立。
• S06 · sufficient_goal_reduction · S02, S04, S05, mko_function_def — 目標 G：f 是 X→Y 的函數。足夠條件 H：存在性與唯一性；H⇒G 由 S02。H 由 S04、S05 正向證成，沒有把 G 當作前提。
• S05 · premise_audit · eq_refl_symm_trans, forall_intro — 只用到等號的性質；反向「不同輸入有不同輸出」並未宣稱，S10 證明它不成立。
• S04 · premise_audit · S03, finite_forall — 窮舉之所以足夠，是因為 X 恰好是這五個元素（G1）；反向（Y 的每個元素都是輸出）並未宣稱，S08 證明它不成立。
• S03 · premise_audit · numeric_evaluation, G1 — 每個值都可獨立重算（N1 到 N5）；X 恰好有這五個元素，所以這是完整計算。
• S02 · inverse_equivalence · mko_function_def, function_def — 這是定義的展開，雙向成立；三個要求（有輸出、輸出在 Y 中、輸出唯一）缺一不可。
• S01 · premise_audit · G1, G2, def_intro — 此步只宣告；f 是否真的是 X→Y 的函數（假設 a2）要在 S02 到 S06 檢查，不能預設。

錯誤控制與反例

陪域、值域、圖形是三個不同對象

MKO 指出常見誤解是把陪域、值域與函數圖形視為同一個對象。本例：陪域 Y={0,1,2,3,4,5} 是宣告的一部分；值域 f(X)={0,1,4} 是實際輸出；圖形 Γ_f 是由 X×Y 中 5 個有序對組成的子集合（S07 到 S09）。改變陪域會改變函數（S11），卻不改變值域與圖形。

程式函數不等於數學總函數

MKO 也提醒不要把有副作用或失敗狀態的程式函數等同於純數學總函數。例如一段程式依次搜尋 −2、−1、0、1、2，傳回第一個平方等於 y 的數：y=1 時它傳回 −1（搜尋次序代替了唯一性），y=2 時它找不到而失敗。這段程式「能執行」，但它並沒有把 s 變成 Y→X 的函數（S12、S13）；它是另一個加了選擇規則、而且在 y=2 等處沒有定義的對象。

唯一性是對輸入而言

最容易做錯的是把兩個條件混淆：函數要求每個輸入只有一個輸出（S05），並不要求每個輸出只來自一個輸入。f(−1)=f(1) 不影響 f 是函數（S10）；反過來，s 在 y=1 有兩個輸出才違反定義（S12）。

• f 的陪域是 {0,1,4} → reject — 宣告的陪域是 Y={0,1,2,3,4,5}；{0,1,4} 是值域（S07、S08）。
• f(−1)=f(1)，所以 f 不是函數 → reject — 函數只要求每個輸入的輸出唯一；f 只是不是單射（S06、S10）。
• s(y)=「X 中滿足 x²=y 的 x」定義了 Y→X 的函數 → reject — y=1 有兩個候選 −1、1，y=2 沒有候選（S12、S13）。
• g(x)=x+4 是 X→Y 的函數 → reject — g(2)=6∉Y（S14）。
• f 與 f₁ 有相同的圖形，所以 f=f₁ → reject — 陪域不同（2∈Y 但 2∉{0,1,4}），依 function_def 兩者不同（S11.3）。

結論與限制

f:X→Y，f(x)=x²，是函數：每個輸入在 Y 中恰有一個輸出。它的值域是 {0,1,4}，不等於陪域 Y={0,1,2,3,4,5}（2∉f(X)），圖形是 {(−2,4),(−1,1),(0,0),(1,1),(2,4)}；陪域、值域、圖形是三個不同的對象。把陪域改為 {0,1,4} 得到不同的函數 f₁，它是滿射。反向規則 s 在 y=1 有兩個候選、在 y=2 沒有輸出，不是函數；g(x)=x+4 因 g(2)=6∉Y 而不是 X→Y 的函數。

• N6 在 x=−2 到 2 的整數上核對 x²≠2；這五個整數恰好是 X 的全部元素，所以對 X 是完整檢查，但它不說明 x²=2 在其他集合（例如 ℝ，有解 √2）中無解。
• 本稿採用「陪域是函數資料的一部分」的約定（function_def，與 MKO 一致）；以圖形定義函數的教材會得到不同的 f=f₁ 判斷。

驗證及來源綁定

10 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

• source commit: b28a5edbd46279b1db2a3f3f48bb3f447e18899f
• adopted source SHA-256: dbc6700ffc9f0c1ea7205d70df77932b6c64beee2dd131a39082172f95769fba
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• Lean: NOT_RUN · independent AI: NOT_MEASURED

同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）