正對角二次函數的安全下降步

目標與範圍

以 alpha=1/4 對指定二次函數做兩步並證每步下降條件。

只處理 deterministic unconstrained exact trace，不宣稱一般收斂率、projection 或 stochastic update。

已知條件與符號

• algebra
• polynomial
• gd_update

• G1 — f(x,y)=x^2+2y^2-2x+4y，d=(2,4)>0，線性係數 b=(-2,4)，起點 z_0=(0,0)，alpha=1/4。

• z_k — 固定座標 iterate
• L — 最大正對角係數

規則與來源

• mko_definition · cited — 對可微f:R^d到R及明示alpha_k>0，unconstrained gradient descent更新x_{k+1}=x_k-alpha_k grad f(x_k)。本輪exact slice固定coordinate order，使用positive diagonal quadratic f(x)=1/2 sum d_i x_i^2+sum b_i x_i，逐步重算gradient、iterate與objective。若0<alpha<2/L且L=max d_i，有限trace可逐項核objective nonincrease；這仍不是一般函數或未驗證無限序列的收斂證書。positive step本身不保證下降，zero gradient可出現在maximum或saddle，且unconstrained step不得冒充projected或constrained descent。 · mko-gradient-descent
• algebra · prerequisite — 實數域的等式運算；除法前分母必非零，不等式乘正數保持方向。
• polynomial · prerequisite — 多項式在實數上連續且可逐項微分；d(x^k)/dx=k x^(k-1)，常數導數為零。
• gd_update · prerequisite — unconstrained gradient descent 在可微域內以正步長更新 z_new=z-alpha*gradient f(z)，不做 projection。

逐步主鏈

f=\tfrac12(2x^2+4y^2)-2x+4y

\nabla f=(2x-2,4y+4),\quad\text{coordinate order }(x,y)

L=\max\{2,4\}=4

0<\alpha=1/4<2/L=1/2

\nabla f(z_0)=(-2,4)

z_1=(0,0)-(1/4)(-2,4)=(1/2,-1)

f(z_0)=0,\quad f(z_1)=1/4+2-1-4

f(z_1)=-11/4<0

\nabla f(z_1)=(-1,0)

z_2=(3/4,-1),\quad f(z_2)=-47/16<-11/4

g_i=d_i z_i+b_i,\quad z_i'=z_i-\alpha g_i

f(z')-f(z)=-\alpha\sum_{i=1}^2(1-\alpha d_i/2)g_i^2\le0

q(u)=u^2/2,\quad u_0=1,\quad\alpha=3>0

u_1=1-3=-2,\quad q(u_1)=2>1/2=q(u_0)

z_0,z_1,z_2\text{ exact and descending}

\text{two verified steps; no general convergence or constrained certificate}

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · S03, S04, S05, S06, S07 — constrained、stochastic 與一般 nonconvex 收斂均不在本證書。
• S07 · premise_audit · G1 — 反例與主 safe alpha 不混用。
• S06 · premise_audit · G1, S01, S02 — 全點的一步恆等式可證每個合法 safe step，但有限 trace 仍不等於一般收斂率。
• S05 · premise_audit · S01, S03, S04 — 不是沿用起點梯度再走同一步。
• S04 · premise_audit · G1, S03 — iterate 改變與 objective 下降兩項分開核。
• S03 · premise_audit · G1, S01, S02 — 沒有投影回任何未指定限制集合。
• S02 · premise_audit · G1, S01 — one-step 定義與下降條件分開。
• S01 · premise_audit · G1 — 不是只依某個偏導更新兩個座標。

錯誤控制與反例

安全步長

L 與 alpha 由同一正對角 objective 計算。

objective 回算

每步重算梯度、iterate 與值，不只列點。

• alpha>0 就保下降。 → reject — S07 的 alpha=3 使值增加。
• 零梯度在一般函數必最小。 → reject — x^2-y^2 原點為 saddle，梯度卻零。
• 本更新也自動是 projected descent。 → reject — 沒有投影或限制集合。

結論與限制

兩步為 (1/2,-1)、(3/4,-1)，值 -11/4、-47/16；safe 界保本對角族每步不增。

驗證及來源綁定

3 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

• source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f
• adopted source SHA-256: 203ed1d75baf3bb16ab3c4d9aa75ac8e27e764539e99f40da34f9f9d72d6de1b
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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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