兩個有限鏈狀空間的同胚

目標與範圍

用全部逆像核對重命名映射是同胚。

完整有限拓撲；不宣稱等距、可微或幾何全等。

已知條件與符號

• sets
• topology
• definition_here

• G1 — X={a,b,c}, tau_X={空集,{a},{a,b},X}；Y={u,v,w}, tau_Y={空集,{u},{u,v},Y}。
• G2 — h(a)=u,h(b)=v,h(c)=w。

• h — 重命名映射
• k — 反函數

規則與來源

• mko_definition · cited — 有限拓撲題完整列出來源與目標拓撲，逐一核目標開集的逆像及反向責任。有限離散空間任意雙射為同胚只限該範圍；同胚不升格成等距、可微或幾何全等。 · mko-homeomorphism
• sets · prerequisite — 集合的聯、交、補集、包含與函數逆像以逐元素定義計算。
• topology · prerequisite — 拓撲含空集與全集，對任意聯及有限交封閉；有限集合族可完整核對。
• definition_here · prerequisite — 雙射的逆函數滿足兩個合成皆恆等；同胚是雙射且正反函數都連續；連續以全部開集逆像為開定義。

逐步主鏈

\tau_X,\tau_Y\text{ are finite inclusion chains}

\tau_X,\tau_Y\text{ satisfy all topology axioms}

h:a\mapsto u,\ b\mapsto v,\ c\mapsto w

h\text{ is total and bijective}

h^{-1}(\varnothing),\ h^{-1}(\{u\})

\varnothing,\ \{a\}

h^{-1}(\{u,v\}),\ h^{-1}(Y)

\{a,b\},\ X

k=h^{-1}

k(u)=a,\ k(v)=b,\ k(w)=c

k^{-1}(\varnothing),k^{-1}(\{a\}),k^{-1}(\{a,b\}),k^{-1}(X)

\varnothing,\{u\},\{u,v\},Y

h\text{ bijective},\quad h,k\text{ continuous}

h\text{ is a homeomorphism}

A=\{a,b\}\in\tau_X

h(A)=\{u,v\}\in\tau_Y

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1, S07 — 這個特例不是 S06 全部逆像核對的替代。
• S07 · premise_audit · S02, S04, S06 — 此結論保存開集結構，不附送任何未指定距離資料。
• S06 · premise_audit · G1, S05, definition_here — 並未由 h 連續與雙射直接跳到逆連續。
• S05 · premise_audit · S02 — 先前雙射前提讓此反函數合法。
• S04 · premise_audit · G1, G2, definition_here — 連續性不是僅核單點的映射值，而是全部開集逆像。
• S03 · inverse_equivalence · G2 — 逆像是 X 的子集，與反函數的方向不要混淆。
• S02 · premise_audit · G1, G2 — 因此逆函數三項也有唯一指定。
• S01 · premise_audit · G1 — 兩邊公理各自核對，不能只因點數相同就假定。

錯誤控制與反例

兩個方向

分別核 h 與反函數的全部開集逆像。

結構不升格

同胚不等於等距、可微或剛體全等。

• 同點數空間的每個雙射都是同胚。 → reject — 從具離散拓撲的兩點空間到只以空集、全集為開集的兩點空間，其恆等雙射連續，但逆映射不連續。
• h 自動是等距映射。 → reject — 本題未給度量，且同胚只核拓撲。
• 只核 h^{-1}({u}) 就完成連續性。 → reject — 需核全部目標開集。

結論與限制

h 是這兩個指定有限拓撲間的同胚。

驗證及來源綁定

0 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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