三集合全部七個交集項

目標與範圍

完整核交替和與每元素的重數。

indexed有限家族，重複sets仍按indices處理。

已知條件與符號

• work

• G1 — A={1,2,3}，B={2,3,4}，C={3,4,5}。

• r — 元素所屬indexed sets數

規則與來源

本稿部分規則文字經本輪讀者釐清，屬於改述而非逐字引文；被引用的原始來源內容及雜湊沒有改動。

• mko_definition · cited — 對每個非空 I⊆[n] 使用 (-1)^(|I|+1)|intersection_i in I A_i|；odd-order 正、even-order 負。重複 sets 仍按 indices 處理，空交集對計數和貢獻 0。空家族的聯集為空集，其基數與容斥和皆為 0。只用 singles/pairs 對 n≥3 不是一般的 exact inclusion-exclusion，截斷只能另稱 Bonferroni bound。 · mko-inclusion-exclusion-principle
• work · prerequisite — 集合union與intersection、有限和按元素計重；二項式identity(1-1)^r=sum_j(-1)^j comb(r,j)為明示前提。

逐步主鏈

A\cup B\cup C

\{1,2,3,4,5\},\quad|A\cup B\cup C|=5

|A|,|B|,|C|

3,3,3

A\cap B,A\cap C,B\cap C

\{2,3\},\{3\},\{3,4\}

A\cap B\cap C

\{3\},\quad|A\cap B\cap C|=1

3+3+3-2-1-2+1

5=|A\cup B\cup C|

x\text{ belongs to }r\ge1\text{ indexed sets}

\sum_{j=1}^{r}(-1)^{j+1}\binom rj=1-(1-1)^r=1

\text{singles minus pairs only}

9-5=4\ne5

(A,A)\text{ indexed twice};\quad n=0

|A|+|A|-|A|=|A|;\quad|\bigcup\varnothing|=0

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1, S07, work — 相同set不等於省略一個index責任。
• S07 · premise_audit · G1, S06, work — 若稱Bonferroni bound須另標示，而非等號。
• S06 · premise_audit · G1, S05, work — 不在union的r=0元素貢獻零另處理。
• S05 · premise_audit · G1, S04, work — 3+3+1=7與2³-1一致。
• S04 · premise_audit · G1, S03, work — 不是因pairwise intersections已列就省triple。
• S03 · premise_audit · G1, S02, work — 二階項的符號為負。
• S02 · premise_audit · G1, S01, work — indexed entries各算一次。
• S01 · premise_audit · G1, work — 沒有只靠公式預寫預期結果。

錯誤控制與反例

七項

按index subsets而非不同集合值枚舉。

逐元素

r≥1用1-(1-1)^r，r=0另給零。

• 三集合只要singles減pairs就exact。 → reject — 本例4不等union size5。
• triple交集應減。 → reject — 三階為奇數，符號正。
• 重複兩set就直接把union計兩倍。 → reject — 二階交集恰扣回一份。

結論與限制

全部七項給union size5；每元素淨重數證一般有限家族公式。

驗證及來源綁定

3 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）