多項式 bracket 與精確中間值

目標與範圍

對 f(x)=x^2-1 在 [0,2] 找值 0，並保留端點及非唯一邊界。

完整多項式證書與精確 witness；不把有限 bisection 稱作極限證明。

已知條件與符號

• algebra
• polynomial
• IVT

• G1 — f(x)=x^2-1，a=0,b=2，目標 y=0。

• y — 目標值
• c — 包含端點的 witness

規則與來源

• mko_definition · cited — 固定a<b、完整interval domain與continuous polynomial certificate，target y須inclusive介於f(a)、f(b)。exact families提供明示c∈[a,b]且f(c)=y；endpoint root保留。IVT只保證存在，不保證唯一、rational closed form或有限bisection已收斂。明示discontinuous step可有sign change但沒有root；有限samples不證continuity。 · mko-intermediate-value-theorem
• algebra · prerequisite — 實數域的等式運算；除法前分母必非零，不等式乘正數保持方向。
• polynomial · prerequisite — 多項式在實數上連續且可逐項微分；d(x^k)/dx=k x^(k-1)，常數導數為零。
• IVT · prerequisite — 若 a<b、f 在整個 [a,b] 連續且 y 介於兩端值（含相等、任一方向），則存在 c∈[a,b] 使 f(c)=y。

逐步主鏈

a=0,\ b=2

a<b,\quad[a,b]=[0,2]\text{ is the full domain interval}

f(x)=x^2-1

f\text{ continuous at every point of }[0,2]

f(0)=0^2-1,\quad f(2)=2^2-1

f(0)=-1\le0\le3=f(2)

f\text{ continuous on }[0,2],\quad-1\le0\le3

\exists c\in[0,2]:f(c)=0

c=1

0<1<2,\quad f(1)=1^2-1=0

[a,b]=[1,2],\quad y=0

c=a=1\text{ is a valid endpoint witness}

g(x)=x^3-x\text{ on }[-2,2]

g(-2)=-6,\ g(2)=6,\quad g(-1)=g(0)=g(1)=0

s(x)=\begin{cases}-1&x<0\\1&x\ge0\end{cases}\quad\text{on }[-1,1]

s(-1)<0<s(1),\quad0\notin s([-1,1])

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1 — 失敗在 0 的連續性，端點 bracket 本身確實成立。
• S07 · premise_audit · G1 — 不是宣稱原 f 在 [0,2] 有三根；例子分清。
• S06 · premise_audit · G1 — 另分支仍 a<b 且 f(1)=y。
• S05 · premise_audit · G1, S04 — 個別有理根不代表所有 IVT 問題都有有理閉式。
• S04 · premise_audit · S01, S02, S03 — 每個前提都由前步給出，不由端點變號單獨跳結論。
• S03 · premise_audit · G1 — bracket 是包含端點的非嚴格條件。
• S02 · premise_audit · G1, S01 — 連續性的全稱範圍明確。
• S01 · premise_audit · G1 — a=b 不在此應用前提。

錯誤控制與反例

前提逐項

完整區間、連續性及 bracket 各自核。

有限演算法

有限二分只給區間或近似，不自動是無限收斂證明。

• 端點變號即使不連續仍必有根。 → reject — S08 跳躍函數不取零。
• IVT 的 witness 必嚴格在內部。 → reject — S06 的端點值已等於目標。
• 存在就必唯一。 → reject — S07 的三個根反駁。

結論與限制

主例 witness c=1；IVT 只保證存在，可在端點且一般不唯一。

驗證及來源綁定

1 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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