用一致性求完整像空間

目標與範圍

im T=span{(1,2)}；(3,6)在像內，(0,1)不在像內。

精確2×2線性系統的全實數像，不以有限輸入清單當range。

已知條件與符號

• calc

• G1 — T:R²→R²，A=[[1,2],[2,4]]，c₁=(1,2)，c₂=(2,4)。

• c_1,c_2 — 矩陣columns
• u,v — 任意目標座標

規則與來源

本稿部分規則文字經本輪讀者釐清，屬於改述而非逐字引文；被引用的原始來源內容及雜湊沒有改動。

• calc · prerequisite — 假設通常實數域與座標向量運算、矩陣乘法、線性獨立及生成的定義；所用消去均為可逆初等列運算。
• mko_definition · cited — 本輪用精確 2×2 矩陣與 symbolic column-span certificate。membership 以 Ax=y 的精確一致性判定；bounded fiber 只提供 witness 或 bounded nonexistence，不可證全 R² 非 membership。像（image，亦常稱 range）不得與宣告陪域（codomain）或有限抽樣的輸出清單混同。 · mko-linear-map-image

逐步主鏈

A\binom{x}{y}

x\binom{1}{2}+y\binom{2}{4}

z=xc_1+yc_2

z=T(x,y)\Rightarrow\operatorname{span}\{c_1,c_2\}\subseteq\operatorname{im}T

c_2=2c_1

T(x,y)=(x+2y)c_1

s\in\mathbb R

T(s,0)=(s,2s),\quad\operatorname{im}T=\{(s,2s):s\in\mathbb R\}

A\binom{x}{y}=\binom{u}{v}

x+2y=u,\quad 2x+4y=v\iff v=2u

(u,v)=(3,6)

6=2\cdot3,\quad T(3,0)=(3,6)

(u,v)=(0,1)

1\ne2\cdot0\Rightarrow(0,1)\notin\operatorname{im}T

|x|,|y|\le1,\quad x,y\in\mathbb Z

-3\le x+2y\le3,\quad(100,200)=T(100,0)\in\operatorname{im}T

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1, S04, S05 — bounded無解不能代替S05的符號判準。
• S07 · premise_audit · G1, S05 — 矛盾1=0排除所有實輸入。
• S06 · premise_audit · G1, S05 — 前像非唯一；加任意t(−2,1)仍輸出(3,6)。
• S05 · inverse_equivalence · G1, S01, S04 — 兩方向均證，並非有限搜尋未命中的推斷。
• S04 · premise_audit · G1, S03 — 像只是R²內直線，不等於宣告codomain R²。
• S03 · premise_audit · G1, S01, S02 — s可任意實數，因可選x=s,y=0。
• S02 · premise_audit · G1, S01 — 兩包含合起來才得完整像，而非下界。
• S01 · premise_audit · G1 — 係數x、y可取全部實數，不能只看columns本身。

錯誤控制與反例

像與陪域

以Ax=y一致性分類，不由T:R²→R²猜滿射。

盒界線

有限搜尋否定只適用已宣告輸入盒。

• codomain R²等於image。 → reject — (0,1)不滿足v=2u。
• 兩個columns便是全部像元素。 → reject — 任意實倍數s(1,2)都是輸出，例如(3,6)。
• 小盒找不到(100,200)表示非membership。 → reject — (100,0)是明示全域前像。

結論與限制

im T=span{(1,2)}；(3,6)在像內，(0,1)不在像內。

驗證及來源綁定

2 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

• source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f
• adopted source SHA-256: b01b892b391c388da6d5e1fa97da0a688e710e364c061e305952d03b4ff25546
• original source SHA-256: 841d6adb1aa0065b3f001c0945ad4d8276511c210c6df28756fc85df02fed2aa
• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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