有限law的L平方精確尾端

目標與範圍

計算二次誤差並提供任意容忍值的尾端。

固定p=2；不由有限prefix推其他模式。

已知條件與符號

• work

• G1 — Ω={a,b}質量1/4、3/4；X(a)=1、X(b)=-1；所有n≥1，X_n(a)=1+2/(n+1)，X_n(b)=-1-1/(n+1)。

• p — 固定指數2
• η — moment容忍值
• ε — norm容忍值

規則與來源

• mko_definition · cited — 本輪限定正整數p及完整有限原子law，使用symbolic error amplitudes c_i/(n+s)精確計算p-moment與epsilon tail。finite prefix不足；不無條件推a.s.、其他Lq或反向機率模式。 · mko-lp-convergence
• work · prerequisite — 有限law的p-moment為加權絕對p次方和；L2 norm是二次矩平方根；L2收斂定義為誤差L2 norm趨零；floor(u)+1>u。

逐步主鏈

p=2,\quad1/4+3/4=1

X_n,X\in L^2(\Omega,P)\quad(n\ge1)

X_n-X

(2/(n+1),-1/(n+1))

|X_n-X|^2

(4/(n+1)^2,1/(n+1)^2)

E|X_n-X|^2

\frac14\frac4{(n+1)^2}+\frac34\frac1{(n+1)^2}=\frac7{4(n+1)^2}

\|X_n-X\|_2^2=7/[4(n+1)^2]

\|X_n-X\|_2=\sqrt7/[2(n+1)]

\eta>0,\quad N=\lfloor7/(4\eta)\rfloor+1

n\ge N\implies\frac7{4(n+1)^2}\le\frac7{4(n+1)}<\eta

\eta=\varepsilon^2\quad(\varepsilon>0)

n\ge N(\varepsilon^2)\implies\|X_n-X\|_2<\varepsilon

\forall\varepsilon>0\ \exists N\ \forall n\ge N:\|X_n-X\|_2<\varepsilon

X_n\to X\text{ in }L^2

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1, S07, work — 未以此有限計算概括一般跨mode定理。
• S07 · premise_audit · G1, S06, work — 避免混同norm誤差與moment誤差容忍值。
• S06 · premise_audit · G1, S05, work — n+1≥1才可用平方分母較大。
• S05 · premise_audit · G1, S04, work — 平方根分母因n+1正而化成2(n+1)。
• S04 · premise_audit · G1, S03, work — 常數為7/4，不是4+1。
• S03 · premise_audit · G1, S02, work — 分母也必須平方。
• S02 · premise_audit · G1, S01, work — b的負誤差在平方前不能誤加到a。
• S01 · premise_audit · G1, work — p固定為正整數2，不隨n改。

錯誤控制與反例

權重

常數1/4乘4再加3/4乘1得7/4。

兩種容忍值

將moment容忍值設ε²後才推norm<ε。

• 先平均有號誤差再平方就是L2 moment。 → reject — 須先逐原子平方再平均。
• norm等於7/[4(n+1)²]。 → reject — 那是norm平方。
• 有限十個moment下降即證收斂。 → reject — 須有所有n≥N的尾端證書。

結論與限制

E|X_n-X|²=7/[4(n+1)²]→0，因此L2收斂。

驗證及來源綁定

2 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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