仿射函數在divisor poset的反演

目標與範圍

f(k)=2k+1、n=6時，F(6)=28且反演得到f(6)=13；n=1亦roundtrip。

正整數6的全部divisors與exact仿射題族；只核這個有限反演證書。

已知條件與符號

• calc

• G1 — f(k)=2k+1，F(m)=Σ_{d|m}f(d)；n=6，使用μ(d)F(6/d)索引。

• F — divisor forward transform
• f — 仿射原函數2k+1

規則與來源

• calc · prerequisite — 假設精確整數算術、帶餘除法、整除與gcd的定義；同餘等式始終綁定明示模數。
• mko_definition · cited — positive integer n上，若F(n)=sum_{d|n}f(d)，則f(n)=sum_{d|n}mu(d)F(n/d)。等價index形式可用mu(n/d)F(d)，但不得混合。必須枚舉全部positive divisors並由完整UPF取得mu；n=1與mu(1)=1保留。這是divisor-poset convolution，不是d≤n。 · mko-mobius-inversion-finite-divisors

逐步主鏈

6=2\cdot3

D(6)=\{1,2,3,6\}

d=1,2,3,6

f(d)=3,5,7,13\text{ respectively}

D(1)=\{1\},\ D(2)=\{1,2\},\ D(3)=\{1,3\}

F(1)=3,\quad F(2)=3+5=8,\quad F(3)=3+7=10

D(6)=\{1,2,3,6\}

F(6)=3+5+7+13=28

d=1,2,3,6

\mu(d)=1,-1,-1,1;\quad6/d=6,3,2,1

\sum_{d\mid6}\mu(d)F(6/d)

28-10-8+3=13=f(6)

F(6)-F(3)-F(2)+F(1)

f(1)(1-1-1+1)+f(2)(1-1)+f(3)(1-1)+f(6)=f(6)

n=1,\quad D(1)=\{1\}

F(1)=f(1)=3,\quad\mu(1)F(1)=3

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1, S03, S05, S07 — 0、負數或不完整divisors不在此證書域。
• S07 · premise_audit · G1, S03, S04, S06 — 每個f只依divisibility出現，不是一般d≤n前綴和。
• S06 · premise_audit · G1, S03, S04, S05 — 若改用μ(6/d)F(d)整體換索引亦可，但不能只換半邊。
• S05 · premise_audit · G1, S01 — d=6對F(1)，不是對F(6)。
• S04 · premise_audit · G1, S01, S02 — 只加proper divisors會得15而非28，破壞roundtrip。
• S03 · premise_audit · G1, S01, S02 — F(3)不含f(2)，因2不整除3。
• S02 · premise_audit · G1, S01 — 只需這四個f值，不是把1至6全加總。
• S01 · premise_audit · G1 — 4、5雖小於6卻不整除6，不能混入。

錯誤控制與反例

索引配對

同一項是μ(d)F(n/d)，或完整同步改為μ(n/d)F(d)。

完整divisors

包括1與n，不以prime或proper列表替代。

• F(6)要加f(4)、f(5)。 → reject — 4與5不是6的divisors。
• 反演可把每項都配F(d)但保留μ(d)。 → reject — 3−8−10+28=13在本例巧合成立，但n=2時3−8=−5≠5；正確需同步換μ為μ(n/d)。
• 只列prime divisors就能反演。 → reject — 漏1與6會只得−10−8=−18，不是13。

結論與限制

f(k)=2k+1、n=6時，F(6)=28且反演得到f(6)=13；n=1亦roundtrip。

驗證及來源綁定

2 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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