17模43的正規化逆元

目標與範圍

17模43的唯一逆類為38；17·38=15·43+1。

n≥2的exact Euclid與Bezout證書，另列nonunit邊界。

已知條件與符號

• calc

• G1 — a=17，n=43，要求0≤x<43及17x≡1 mod43。

• x — 正規化逆元代表
• y — Bezout模數係數

規則與來源

• calc · prerequisite — 假設精確整數算術、帶餘除法、整除與gcd的定義；同餘等式始終綁定明示模數。
• mko_definition · cited — 使用extended Euclid給exact Bezout certificate ax+ny=1，輸出0≤x mod n<n。modulus0無效；本輪限制n≥2。nonunit明示無inverse，不以除法近似。 · mko-modular-inverse

逐步主鏈

a=17,\quad n=43

n\ge2,\quad43=2\cdot17+9,\quad0\le9<17

17,9

17=1\cdot9+8,\quad9=1\cdot8+1,\quad8=8\cdot1+0

u=qv+r

d\mid u,v\iff d\mid v,r;\quad\gcd(17,43)=1

1=9-8,\quad8=17-9,\quad9=43-2\cdot17

1=2\cdot43-5\cdot17

17(-5)+43(2)=1

-5\equiv38\pmod{43},\quad0\le38<43

x=38

17\cdot38=646=15\cdot43+1\Rightarrow17\cdot38\equiv1\pmod{43}

17x\equiv17x'\equiv1\pmod{43}

43\mid17(x-x');\quad x-x'=(2\cdot43-5\cdot17)(x-x')\Rightarrow43\mid x-x'

6x+15y=1\text{ proposed}

3\mid6x+15y\text{ but }3\nmid1\Rightarrow6\text{ has no inverse mod }15

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1, S03 — 此無解證書對所有整數x、y成立，不僅有限搜尋。
• S07 · premise_audit · G1, S04, S06 — 若x與x'均在0到42，差為43倍且絕對值小43，才得整數相等。
• S06 · premise_audit · G1, S05 — 等式先在Z成立，再推出模43同餘，不混淆兩層。
• S05 · premise_audit · G1, S04 — −5與38是同一逆類，不是兩個不同逆元類。
• S04 · premise_audit · G1, S01, S02, S03 — 直接核86−85=1；符號錯誤會使逆元失效。
• S03 · premise_audit · G1, S01, S02 — gcd不只是猜1，已由整條鏈與共因數不變證明。
• S02 · premise_audit · G1, S01 — 到餘數0停止，不能再除以0。
• S01 · premise_audit · G1 — 除數17非零且餘數界明列，沒有近似除法。

錯誤控制與反例

負號

回代係數為−5，不是5。

模數域

本輪只允許n≥2，n=0或1不採用。

• 逆元為5。 → reject — 17·5=85≡42而非1 mod43。
• 6模15的逆元可寫1/6。 → reject — 3整除任何6x+15y，不可能等1。
• 逆元作整數唯一。 → reject — 38與−5均滿足同餘，只在正規化範圍選38。

結論與限制

17模43的唯一逆類為38；17·38=15·43+1。

驗證及來源綁定

2 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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