有界單調尾與上確界論證

目標與範圍

對 a_n=3-2/(n+1) 證單調、有界、sup=3 及極限。

完整 n≥0 公式、嚴格 epsilon 證書；一般定理的 supremum 步驟另明示。

已知條件與符號

• algebra
• epsilon
• supremum
• definition_here

• G1 — a_n=3-2/(n+1) 對全部 n≥0 定義；使用實數上確界性。

• a_n — 具體全數列
• s — 一般定理上確界

規則與來源

本稿部分規則文字經本輪讀者釐清，屬於改述而非逐字引文；被引用的原始來源內容及雜湊沒有改動。

• mko_definition · cited — 保留全稱monotonicity與相應bound。若s=sup{a_n}，s-epsilon不是upper bound給出N，之後由monotonicity控制全部tail。sup/inf未必是某一項。有限prefix不證全序列，monotone無界或bounded nonmonotone不在定理假設。 · mko-monotone-sequence-convergence-theorem
• algebra · prerequisite — 實數域的等式運算；除法前分母必非零，不等式乘正數保持方向。
• epsilon · prerequisite — 收斂表示每個正 epsilon 有一個整數 N，使全部 n≥N 的誤差嚴格小於 epsilon；使用實數 Archimedean 性。
• supremum · prerequisite — 非空有上界實集合有上確界 s；若 epsilon>0，s-epsilon 不是上界。
• definition_here · prerequisite — 實數數列極限 L 的 epsilon 定義：每個正 epsilon 都有 N，使所有 n≥N 的 |u_n-L|<epsilon。

逐步主鏈

a_{n+1}-a_n=2/(n+1)-2/(n+2)

a_{n+1}-a_n=2/((n+1)(n+2))>0

0<2/(n+1)\le2

1\le a_n<3

\varepsilon>0,\quad N=\lfloor2/\varepsilon\rfloor+1

0<3-a_n=2/(n+1)<\varepsilon\quad(n\ge N)

u<3,\quad\varepsilon=3-u>0

a_N>3-\varepsilon=u;\quad\sup\{a_n:n\ge0\}=3

(u_n)\text{ nondecreasing and bounded above},\quad s=\sup\{u_n\}

\forall\varepsilon>0\ \exists N:\ s-\varepsilon<u_N\le s

n\ge N

s-\varepsilon<u_N\le u_n\le s

0\le s-u_n<\varepsilon\quad(n\ge N)

u_n\to s

a_n\text{ nondecreasing},\quad\sup\{a_n\}=3

\lim a_n=3\text{, not attained by any }a_n

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · S01, S02, S04, S07 — 沒有反推所有收斂數列都單調。
• S07 · premise_audit · S06 — 只用所列單調與有界前提，不從有限樣本推前提。
• S06 · premise_audit · S05 — 缺單調性就不能從 u_N 推全部後續項。
• S05 · premise_audit · G1 — 這裡明示另取一般 u_n 及其兩項前提，不與具體 a_n 混名。
• S04 · premise_audit · S02, S03 — sup 不需是某項，前面已證無項等於 3。
• S03 · premise_audit · G1, S02 — N 為一個固定尾端索引，之後對所有 n 使用。
• S02 · premise_audit · G1 — 上界不是最大值，因每項嚴格小於 3。
• S01 · premise_audit · G1 — 對所有 n 的公式，不是有限相鄰抽查。

錯誤控制與反例

前提成對

遞增配上界、遞減配下界。

嚴格界

s-epsilon 非上界提供嚴格的近似項。

• a_n 有最大值 3。 → reject — 每項均嚴格小於 3。
• 單調就一定收斂成實數。 → reject — n 遞增但無上界，無有限極限。
• 有界就一定收斂。 → reject — (-1)^n 有界而偶奇極限不同。

結論與限制

a_n 嚴格遞增有界，趨 3；3 是未取到的 sup。

驗證及來源綁定

1 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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