fibers確為stabilizer左陪集

目標與範圍

point0的orbit大小3、stabilizer大小2；三個fiber均為左陪集，所以6=3·2。

同一完整有限作用與同一point0，明示fiber-coset雙向與平移雙射。

已知條件與符號

• calc

• G1 — G={e,r,r²,s,rs,r²s}，依序編碼(0,0),(1,0),(2,0),(0,1),(1,1),(2,1)。乘法(i,j)(k,l)=(i+(−1)^j k mod3,j+l mod2)。點載體X={0,1,2,3}；(i,j)作用x<3為i+(−1)^j x mod3，並固定3。

• G — 六元素群載體
• r,s — r³=e,s²=e,sr=r²s的labels
• \phi_0 — point0的action map
• H — 同point的stabilizer

規則與來源

• calc · prerequisite — 假設精確模3、模2整數算術、有限集合外延相等與群／作用的定義；不預設此運算已為群。
• mko_definition · cited — 固定同一完整有限作用G作用X與x。action map phi_x(g)=g·x對orbit滿射；若g0·x=y，fiber精確等於左陪集g0 Stab_G(x)，故|G|=|G·x||Stab_G(x)|。不要求action free、faithful或transitive；proper sample、不同point綁定或只碰巧數值相等皆不足。 · mko-orbit-stabilizer-theorem

逐步主鏈

G=\{e,r,r^2,s,rs,r^2s\}

\begin{array}{c|cccccc}*&e&r&r^2&s&rs&r^2s\\\hline e&e&r&r^2&s&rs&r^2s\\r&r&r^2&e&rs&r^2s&s\\r^2&r^2&e&r&r^2s&s&rs\\s&s&r^2s&rs&e&r^2&r\\rs&rs&s&r^2s&r&e&r^2\\r^2s&r^2s&rs&s&r^2&r&e\\\end{array}

(i,j)(k,l)=(i+(-1)^jk,j+l)\quad(\bmod(3,2))

((i,j)(k,l))(m,n)=(i+(-1)^jk+(-1)^{j+l}m,j+l+n)=(i,j)((k,l)(m,n));\quad e=(0,0);\quad(i,j)^{-1}=(-(-1)^ji,j)

X=\{0,1,2,3\}

\begin{array}{c|cccc}\cdot&0&1&2&3\\\hline e&0&1&2&3\\r&1&2&0&3\\r^2&2&0&1&3\\s&0&2&1&3\\rs&1&0&2&3\\r^2s&2&1&0&3\\\end{array}

\phi_0:G\to X,\quad\phi_0(g)=g\cdot0

\operatorname{im}\phi_0=O=\{0,1,2\},\quad H=\phi_0^{-1}(\{0\})=\{e,s\}

g=e,r,r^2,s,rs,r^2s

\phi_0^{-1}(0)=\{e,s\},\quad\phi_0^{-1}(1)=\{r,rs\},\quad\phi_0^{-1}(2)=\{r^2,r^2s\}

H=\{e,s\}

eH=\{e,s\},\quad rH=\{r,rs\},\quad r^2H=\{r^2,r^2s\}

g_0\cdot0=y

g\cdot0=y\iff(g_0^{-1}g)\cdot0=0\iff g_0^{-1}g\in H\iff g\in g_0H

L_{g_0}:H\to g_0H,\quad h\mapsto g_0h

L_{g_0}^{-1}(k)=g_0^{-1}k\Rightarrow|g_0H|=|H|=2

G=\phi_0^{-1}(0)\sqcup\phi_0^{-1}(1)\sqcup\phi_0^{-1}(2)

|G|=3\cdot2=|G\cdot0|\,|\operatorname{Stab}_G(0)|=6

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S09 · premise_audit · G1, S04, S05, S08 — 並不要求作用free或transitive：s固定0且point3不在orbit0。
• S08 · premise_audit · G1, S02, S06, S07 — 單純看到三組兩元素不解釋一般機制，逆映射補足雙射理由。
• S07 · inverse_equivalence · G1, S02, S03, S04, S06 — 逆向g=g₀h使g·0=g₀·(h·0)=g₀·0，h須在同一H。
• S06 · premise_audit · G1, S01, S05 — 這是g₀H左陪集，乘法順序不能改成Hg₀。
• S05 · premise_audit · G1, S04 — 每個目標在orbit內都有前像，所以φ₀對orbit滿射。
• S04 · premise_audit · G1, S03 — point3雖也在X，不能混用其stabilizer G。
• S03 · premise_audit · G1, S02 — 表格對每個g與每個point恰有一值；相容式涵蓋全部6²·4=144 triples，不是只核每列像排列。
• S02 · premise_audit · G1, S01 — 指數j+l只依mod2，因(−1)²=1，公式對所有代表一致；逆元清單e,r²,r,s,rs,r²s完整。
• S01 · premise_audit · G1 — labels依序綁定六個pair，故同名r²不代表額外第七元素。

錯誤控制與反例

同一群表

全部積、逆元與cosets綁定這個完整Cayley表。

完整枚舉

任何全稱有限性質都需全載體或全稱公式，不用proper sample。

• 改用Stab(3)=G仍可和orbit0相乘。 → reject — 不同point混綁會得3·6=18≠6。
• 此定理要求free。 → reject — s≠e固定0，但fiber證書與6=3·2均成立。
• 只有數值6=3·2就夠證任意action。 → reject — 還須同一作用與point的完整fibers及coset雙射；任意數字不給這些。

結論與限制

point0的orbit大小3、stabilizer大小2；三個fiber均為左陪集，所以6=3·2。

驗證及來源綁定

1 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

• source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f
• adopted source SHA-256: f78007176051f8883326c27cdfa614a2deb1ac3401d22f708d72381b178efd39
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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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