帶符號整數的3進因子抽取

目標與範圍

v₃(−108)=3、v₃(18)=2、v₃(−1944)=5、v₃(−90)=2；零用infinity。

prime3的exact extraction、product與sum laws實例及一般unequal-sum論證，不作completion。

已知條件與符號

• calc

• G1 — p=3為prime，a=−108,b=18；v_p(0)唯一序列化字串sentinel為infinity。

• u,v — 去prime後units，可負
• v_p(0) — infinity字串

規則與來源

• calc · prerequisite — 假設精確整數算術、帶餘除法、整除與gcd的定義；同餘等式始終綁定明示模數。假設整數唯一質因數分解與prime不整除兩個因子時也不整除乘積。
• mko_definition · cited — prime p≥2；a≠0時以|a|=p^k*u且p不整除u的唯一k定義v_p(a)，負a合法並先取絕對值。固定可序列化sentinel `infinity` 表示v_p(0)。exact families核factor extraction、v_p(ab)=v_p(a)+v_p(b)與v_p(a+b)≥min；只有v_p(a)≠v_p(b)時保證sum equality。nonprime base不屬p-adic valuation，含零identity依infinity convention分開。 · mko-p-adic-valuation-integers

逐步主鏈

p=3,\quad a=-108

|a|=108=3^3\cdot4,\quad3\nmid4\Rightarrow v_3(a)=3

b=18

18=3^2\cdot2,\quad3\nmid2\Rightarrow v_3(b)=2

ab=-1944

|ab|=3^{3+2}(4\cdot2)=3^5\cdot8,\quad3\nmid8\Rightarrow v_3(ab)=5

a+b=-90

90=3^2\cdot10,\quad3\nmid10\Rightarrow v_3(a+b)=2=\min(3,2)

a=p^ru,\quad b=p^sv,\quad r<s,\quad p\nmid u,v

a+b=p^r(u+p^{s-r}v),\quad u+p^{s-r}v\equiv u\not\equiv0\pmod p

v_3(3)=v_3(6)=1

v_3(3+6)=v_3(9)=2>1

-108+108=0

v_3(0)=\texttt{infinity},\quad\texttt{infinity}>k\ (k\in\mathbb N_0)

v_p(a)=r,\quad v_p(b)=s\text{ finite}

p^{\min(r,s)}\mid a+b\Rightarrow v_p(a+b)\ge\min(r,s)

\text{base }4,\quad a=b=2

v_4(2)=0,\quad v_4(4)=1\ne0+0

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S09 · premise_audit · G1, S03, S08 — 這不否證prime3的證書，而是指出prime base不可省。
• S08 · premise_audit · G1, S05, S06, S07 — 只有r≠s由S05保證等號，r=s不可升格。
• S07 · premise_audit · G1, S01, S06 — 若一個輸入為零，乘積為零，其 valuation 為 infinity；和等於另一個輸入，因此和的 valuation 等於另一輸入的 valuation。若兩個輸入皆為零，和仍為零，其 valuation 為 infinity，皆符合這套約定。
• S06 · premise_audit · G1, S05 — 反例只否證總有等號，仍符合sum inequality。
• S05 · premise_audit · G1, S04 — a或b可負，u、v亦可負；nondivisibility仍成立。
• S04 · premise_audit · G1, S01, S02 — −90先取絕對值；不以有理近似log計指數。
• S03 · premise_audit · G1, S01, S02 — 這裡unit乘積8不被3整除；不是只驗3⁵整除就停止。
• S02 · premise_audit · G1, S01 — 兩個輸入均非零，有限整數valuation3、2可直接相加。
• S01 · premise_audit · G1 — 若只除到12會低估valuation；最高次需最後unit檢查。

錯誤控制與反例

最高次

|a|=p^k u後必核p不整除u才定k。

零sentinel

零唯一用字串infinity，不用0或未標記NaN。

• 負整數a無valuation。 → reject — 按絕對值抽取，−108值3。
• 所有sum valuation都等於min。 → reject — 3+6=9，2>1。
• 合數底4也保留product law。 → reject — 2·2=4使1≠0+0。

結論與限制

v₃(−108)=3、v₃(18)=2、v₃(−1944)=5、v₃(−90)=2；零用infinity。

驗證及來源綁定

3 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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