有限定義域的逐點尾項證書

目標與範圍

證 f_n(p)=1+2/(n+1), f_n(q)=-2-3/(n+1) 逐點趨於 f。

共同有限域 {p,q}、R 值、n≥0；先以正有理容差建立精確尾項證書，再以 Archimedean 性銜接每個正實數 epsilon；不外推無限域。

已知條件與符號

• algebra
• epsilon
• definition_here

• G1 — D={p,q}, f(p)=1,f(q)=-2；所有 n≥0 都由上述完整公式定義 f_n。

• D — 共同有限域
• N_p,N_q — 逐點尾端索引

規則與來源

• mko_definition · cited — 本輪用完整有限domain及f_n(x)=f(x)+c_x/(n+s)的symbolic tail。逐x給exact epsilon witness；有限domain可取所有N的最大值推出該有限模型的一致收斂，但不可外推無限domain。有限prefix不足。 · mko-pointwise-convergence-of-functions
• algebra · prerequisite — 實數域的等式運算；除法前分母必非零，不等式乘正數保持方向。
• epsilon · prerequisite — 收斂表示每個正 epsilon 有一個整數 N，使全部 n≥N 的誤差嚴格小於 epsilon；使用實數 Archimedean 性。
• definition_here · prerequisite — 逐點收斂：每個 x、每個正 epsilon 皆有 N(x,epsilon)，使全部 n≥N 的該點誤差小於 epsilon。

逐步主鏈

n\ge0

n+1>0,\quad f_n:D\to\mathbb R

f_n(p)-f(p)=2/(n+1)

|f_n(p)-f(p)|=2/(n+1)

\varepsilon>0,\quad N_p=\lfloor2/\varepsilon\rfloor+1

n\ge N_p\Longrightarrow n+1>2/\varepsilon

n+1>2/\varepsilon

|f_n(p)-f(p)|<\varepsilon\quad(n\ge N_p)

f_n(q)-f(q)=-3/(n+1)

|f_n(q)-f(q)|=3/(n+1)

N_q=\lfloor3/\varepsilon\rfloor+1

n\ge N_q\Longrightarrow |f_n(q)-f(q)|<\varepsilon

\forall x\in D\ \forall\varepsilon>0\ \exists N_x\ \forall n\ge N_x

f_n(x)\to f(x)\text{ pointwise on }D

N=\max(N_p,N_q)

n\ge N\Longrightarrow\forall x\in D\ |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · S03, S06 — 共同 N 是額外有限性推論，不是逐點定義自帶。
• S07 · premise_audit · G1, S04, S06 — 沒有交換 x 與 N 的量詞來定義逐點收斂。
• S06 · premise_audit · S05 — 逐點定義允許 N_q 與 N_p 不同。
• S05 · inverse_equivalence · G1, S01 — 不是把原函數的負值當負誤差。
• S04 · premise_audit · S02, S03 — 未把 ≤epsilon 誤作所需嚴格界。
• S03 · premise_audit · S02 — N_p 只依 p 與 epsilon，不依後來的 n。
• S02 · inverse_equivalence · G1, S01 — 符號核對依完整公式，不靠有限值表。
• S01 · premise_audit · G1 — 不是每個 n 換不同定義域。

錯誤控制與反例

嚴格 epsilon

取 floor(C/epsilon)+1 保留嚴格不等式。

完整域

兩點已窮盡，但不把兩點測試當無限域證明。

• 只核 n≤100 就證逐點收斂。 → reject — 尚有所有 n≥N 的責任。
• 負號使 q 的絕對誤差為負。 → reject — 誤差為 3/(n+1)>0。
• 任意無限域逐點收斂亦可取有限最大 N。 → reject — 無限多個逐點索引可能無共同上界。

結論與限制

兩點均逐點收斂，且此有限例另有共同 N=max(N_p,N_q)。

驗證及來源綁定

2 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

• source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f
• adopted source SHA-256: f6cce455f215e1c616bf5c32ac57230c794304a90156dbf919ff58b5b4258783
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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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