oldest-to-newest二階遞迴trace

目標與範圍

對齊state、係數與全部初值，生成a5並證唯一性責任。

有限exact integer trace；不猜closed form。

已知條件與符號

• work

• G1 — order r=2，initial_values=(a0,a1)=(1,3)，coefficients=(2,1)，constant=1；所有n≥2用a_n=1+2a_(n-2)+a_(n-1)。

• A_n — 最近兩項state
• F — shift-append update

規則與來源

• mko_definition · cited — r階遞迴須有全部r個初值，係數由最舊到最新對齊；狀態左移後附加新項。有限前綴不證閉式、收斂或漸近性。 · mko-recurrence-relation
• work · prerequisite — order-r state按最舊到最新排列；single-valued整數update為total；數學歸納可從全部初值推唯一性。

逐步主鏈

A_1=(a_0,a_1)=(1,3)

F(u,v)=(v,1+2u+v)

a_2=1+2(1)+3

a_2=6,\quad A_2=(3,6)

a_3=1+2(3)+6

a_3=13,\quad A_3=(6,13)

a_4=1+2(6)+13

a_4=26,\quad A_4=(13,26)

a_5=1+2(13)+26

a_5=53,\quad A_5=(26,53)

a_0=b_0,\ a_1=b_1\quad\text{and same recurrence}

(a_{n-2},a_{n-1})=(b_{n-2},b_{n-1})\implies a_n=b_n

a_0=b_0=1,\ a_1=b_1=3

a_n=b_n\quad\text{for every }n\ge0

a_0=1\text{ only},\quad a_1=t

a_2=3+t\text{ depends on }t

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1, S07, work — 有限trace完成不宣稱收斂或漸近。
• S07 · premise_audit · G1, S06, work — 唯一性不等於已證closed form或growth rate。
• S06 · premise_audit · G1, S05, work — 歸納基礎需要兩個初值，不能只有一個。
• S05 · premise_audit · G1, S04, work — 每個中間值為明示安全整數。
• S04 · premise_audit · G1, S03, work — constant1在每次update都存在。
• S03 · premise_audit · G1, S02, work — 係數2乘3而非6。
• S02 · premise_audit · G1, S01, work — state不是只記新scalar6。
• S01 · premise_audit · G1, work — 不能倒轉係數為u+2v。

錯誤控制與反例

係數對齊

(2,1)分別乘a_(n-2)、a_(n-1)。

state width

每次state保留兩項，先shift再append。

• a2=1+1+2乘3=8。 → reject — 係數順序最舊乘2，正確值6。
• 只給a0=1已唯一。 → reject — a1=t時a2=3+t仍自由。
• 六項上升已證發散。 → reject — 有限prefix不能證無限tail性質。

結論與限制

prefix為1、3、6、13、26、53；兩初值加total rule確定唯一序列。

驗證及來源綁定

2 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

• source commit: b1b2f1dcf8c50d67a93fe52d95f8eef7b3abba9f
• adopted source SHA-256: 124f407c6762352d6b2a2e969d2d845466e4482a03a8f31e13b95650c4a212a5
• original source SHA-256: 22806b93c67d3eddec49366fb95886552a6c5b9b138df147ef955ed07c293e53
• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）