σ-代數與測度空間：四點載體上由原子生成的 σ-代數與一個機率測度

目標與範圍

在 X={0,1,2,3} 上，以原子 A_1={0}、A_2={1,2}、A_3={3} 生成的 8 個集合構成 Σ，並以 m_1=1/2、m_2=1/3、m_3=1/6 定義 μ(∪_{i∈I}A_i)=Σ_{i∈I}m_i。證明 Σ 是 σ-代數（含可數聯集的有限歸約），證明 μ 是測度（含可數可加性的有限歸約）且為機率測度；再說明 𝒢={∅,{0},{1},X} 不是 σ-代數，以及只改一個值的 ν 不是測度。

只處理 G1 到 G4 指定的有限測度空間與兩個反例（MKO 假設 a1、a2）。可數聯集與可數可加性只在這個有限 Σ 上歸約為有限情形；不外推到任意無限 σ-代數或 extended-real 值測度。錯誤控制中的有限/餘有限例子只作對照說明。不改動 canonical MKO 或其英文 edition。

已知條件與符號

• set_operations_def
• set_extensionality
• finite_sum_rules
• finite_counting_basics
• nat_induction

• G1 — 載體 X={0,1,2,3}；原子 A_1={0}、A_2={1,2}、A_3={3}。
• G2 — 完整 canonical 集合族 Σ={∅,{0},{1,2},{3},{0,1,2},{0,3},{1,2,3},X}，描述為 Σ={E_I ∣ I⊆{1,2,3}}，其中 E_I=∪_{i∈I}A_i（MKO 假設 a1）。
• G3 — 精確非負有理權重 m_1=1/2、m_2=1/3、m_3=1/6；定義 μ(E_I)=Σ_{i∈I}m_i。
• G4 — 反例：𝒢={∅,{0},{1},X}；ν 定義在 Σ 上，除了 ν({0,1,2})=1 之外處處等於 μ。

• X=\{0,1,2,3\} — 有限載體
• A_1,A_2,A_3 — 原子 {0}、{1,2}、{3}
• E_I=\bigcup_{i\in I}A_i — 指標集 I⊆{1,2,3} 對應的原子聯集
• \Sigma — G2 的 8 個集合
• \mu,\ m_i — 測度與原子權重 1/2、1/3、1/6
• \mathcal{G},\ \nu — 反例：非 σ-代數的族與非測度的集函數

規則與來源

• set_operations_def · prerequisite — 集合運算：x∈A∪B ⇔ x∈A 或 x∈B；x∈A∩B ⇔ x∈A 且 x∈B；x∈A∖B ⇔ x∈A 且 x∉B；在全集 U 中 Aᶜ=U∖A。
• set_extensionality · prerequisite — 集合相等：A=B 當且僅當 A⊆B 且 B⊆A，即兩者有相同元素。
• finite_sum_rules · prerequisite — 有限和：Σ_{i=1}^{0} a_i=0、Σ_{i=1}^{n+1} a_i=Σ_{i=1}^{n} a_i + a_{n+1}；Σ(a_i+b_i)=Σa_i+Σb_i；Σ c·a_i=c·Σa_i。
• finite_counting_basics · prerequisite — 有限計數：互斥有限集合 A、B 有 |A∪B|=|A|+|B|；|A×B|=|A|·|B|；有限集之間存在雙射 ⇔ 元素個數相同。
• nat_induction · prerequisite — 數學歸納原理：對從 n₀ 起的命題族 P(n)，若 P(n₀) 成立，且對每個 n≥n₀ 都有 P(n)⇒P(n+1)，則所有 n≥n₀ 都有 P(n)。
• def_unfold · prerequisite — 展開定義：把一個已定義的詞換成它的定義內容（或反向收回），命題的真假不變。
• contradiction · prerequisite — 反證法：若假設 ¬P 推出矛盾（某命題與其否定同時成立），則 P 成立。
• numeric_evaluation · prerequisite — 明確整數或有理數算式的精確求值；可以獨立重算。
• subset_def · prerequisite — 子集：A⊆B 表示 A 的每個元素都是 B 的元素，即 ∀x (x∈A⇒x∈B)。
• and_intro_elim · prerequisite — 合取：由 P 與 Q 得 P∧Q；由 P∧Q 可分別得 P 與 Q。
• def_intro · prerequisite — 引入定義：可為一個命題、式子或物件取名；之後名稱與被定義者可互相替換。
• order_basics · prerequisite — 實數的序：任兩數恰有 u<v、u=v、u>v 之一；u<v 且 v<w 推出 u<w；u<v 推出 u+w<v+w；u<v 且 w>0 推出 uw<vw；u<v 且 w<0 推出 uw>vw。
• injective_surjective_def · prerequisite — 單射：f(a)=f(a′) ⇒ a=a′。滿射：每個 b∈B 都有 a∈A 使 f(a)=b。雙射：既單又滿，此時有唯一反函數 f⁻¹ 使 f⁻¹∘f=id_A、f∘f⁻¹=id_B。
• quantifier_negation · prerequisite — 量詞否定：¬(∀x, P(x)) 等價於 ∃x, ¬P(x)；¬(∃x, P(x)) 等價於 ∀x, ¬P(x)。
• mko_sigma_def · cited — 在集合 X 上，σ-代數含空集，對補集及可數聯集封閉。測度對可測集給非負值、空集為零，並對兩兩互斥可數族可數可加。完整有限載體可把可數責任歸約為有限多個相異集合。 · mko-sigma-algebra-measure-space
• L_rep_unique · lemma — 對 G1 的原子，若 E_I=E_J，則 I=J。
• L_complement · lemma — 對每個 I⊆{1,2,3}：X∖E_I=E_{I'}，其中 I'={1,2,3}∖I。
• L_union · lemma — 對所有 I、J⊆{1,2,3}：E_I∪E_J=E_{I∪J}。
• L_countable_reduce · lemma — 對 Σ 中任一序列 (E_k)_{k≥1}，集合 D={E_k ∣ k≥1} 是 Σ 的有限子族，∪_k E_k=∪_{E∈D}E，而且這個聯集屬於 Σ。
• L_fin_add · lemma — 對 E、F∈Σ 且 E∩F=∅：μ(E∪F)=μ(E)+μ(F)。
• L_ctbl_add · lemma — 對 Σ 中兩兩互斥的序列 (E_k)_{k≥1}：級數 Σ_k μ(E_k) 收斂，且 μ(∪_k E_k)=Σ_k μ(E_k)。
• p_finite_support_series · prerequisite — 若一個實數級數除有限多項外每一項都是 0，則它收斂，而且和等於那些非零項（有限個）的和。

逐步主鏈

(X,\Sigma,\mu)\ \text{is a measure space}

\emptyset\in\Sigma;\ E\in\Sigma\Rightarrow X\setminus E\in\Sigma;\ E_k\in\Sigma\Rightarrow\bigcup_{k\ge1}E_k\in\Sigma;\ \mu\ge0,\ \mu(\emptyset)=0,\ \mu\Big(\bigcup_k E_k\Big)=\sum_k\mu(E_k)\ \text{(pairwise disjoint)}

A_1=\{0\},\ A_2=\{1,2\},\ A_3=\{3\}

A_i\neq\emptyset,\ \ A_i\cap A_j=\emptyset\ (i\neq j),\ \ A_1\cup A_2\cup A_3=X

\Sigma=\{E_I\mid I\subseteq\{1,2,3\}\}

|\Sigma|=8:\ \emptyset,\{0\},\{1,2\},\{3\},\{0,1,2\},\{0,3\},\{1,2,3\},X

I=\emptyset

E_{\emptyset}=\emptyset\in\Sigma

E_I\in\Sigma

X\setminus E_I=E_{I'}\in\Sigma,\ \ I'=\{1,2,3\}\setminus I

E_I,\ E_J\in\Sigma

E_I\cup E_J=E_{I\cup J}\in\Sigma

(E_k)_{k\ge1},\ E_k\in\Sigma

\bigcup_{k\ge1}E_k=\bigcup_{E\in D}E\in\Sigma,\ \ D=\{E_k\mid k\ge1\}

\emptyset\in\Sigma,\ \text{complements},\ \text{countable unions}

\Sigma\ \text{is a}\ \sigma\text{-algebra on}\ X

\mu(E_I)=\sum_{i\in I}m_i

\mu:\ 0,\tfrac12,\tfrac13,\tfrac16,\tfrac56,\tfrac23,\tfrac12,1\ \text{on}\ \emptyset,\{0\},\{1,2\},\{3\},\{0,1,2\},\{0,3\},\{1,2,3\},X

m_i\ge 0

\mu(E)\ge 0\ \ (E\in\Sigma),\quad \mu(\emptyset)=\sum_{i\in\emptyset}m_i=0

E,F\in\Sigma,\ E\cap F=\emptyset

\mu(E\cup F)=\mu(E)+\mu(F)

(E_k)_{k\ge1}\subseteq\Sigma\ \text{pairwise disjoint}

\mu\Big(\bigcup_{k\ge1}E_k\Big)=\sum_{k\ge1}\mu(E_k)

\mu(X)=\tfrac12+\tfrac13+\tfrac16

\mu(X)=1:\ (X,\Sigma,\mu)\ \text{is a probability space}

\mathcal{G}=\{\emptyset,\{0\},\{1\},X\}

X\setminus\{0\}=\{1,2,3\}\notin\mathcal{G}:\ \mathcal{G}\ \text{is not a}\ \sigma\text{-algebra}

\nu=\mu\ \text{except}\ \nu(\{0,1,2\})=1

\nu(\{0\}\cup\{1,2\})=1\neq\tfrac56=\nu(\{0\})+\nu(\{1,2\})

局部子步與引理

E_I=E_J

I=J

I\mapsto E_I\ \text{injective on}\ \mathcal{P}(\{1,2,3\})

|\Sigma|=2^3=8

x\in X\setminus E_I

x\in E_{I'}

x\in E_{I'}

x\in X\setminus E_I,\ \text{hence}\ X\setminus E_I=E_{I'}

x\in E_I\cup E_J

x\in E_{I\cup J}

D=\{E_k\mid k\ge1\}

D\subseteq\Sigma,\ \ |D|\le 8

x\in\bigcup_{k\ge1}E_k

x\in\bigcup_{E\in D}E

D\subseteq\Sigma\ \text{finite}

\bigcup_{E\in D}E\in\Sigma

E=E_I,\ F=E_J,\ E\cap F=\emptyset

I\cap J=\emptyset

I\cap J=\emptyset

\mu(E_I\cup E_J)=\mu(E_{I\cup J})=\sum_{i\in I\cup J}m_i=\sum_{i\in I}m_i+\sum_{j\in J}m_j

K=\{k\mid E_k\neq\emptyset\},\ E_k=E_{I_k}

I_k\neq\emptyset,\ I_k\cap I_l=\emptyset\ (k\neq l\in K),\ \ |K|\le 3

\sum_{k\ge1}\mu(E_k)

\sum_{k\in K}\mu(E_k)

\bigcup_{k\ge1}E_k

\mu\Big(\bigcup_{k\in K}E_k\Big)=\sum_{k\in K}\mu(E_k)

逐步反向審查

• S15 · premise_audit · G4, numeric_evaluation — 一組不交集合的失敗就足以否定可加性；兩個集合的情形是可數族的特例（其餘補 ∅）。
• S14 · premise_audit · G4, set_operations_def — 否定全稱的封閉性只需一個反例；這裡給了兩個。
• S13 · premise_audit · S08, S10, S12, numeric_evaluation — 測度空間的結論需要全部責任；機率測度另需 μ(X)=1，這是精確有理數計算，不是近似。
• S12.3 · premise_audit · S11, S06, set_extensionality — 前面的聯集與新成員不交，因為新成員與前面每一個成員都不交；S11 只對兩集合使用。
• S12.2 · premise_audit · S12.1, S10, p_finite_support_series — 收斂性來自「只有有限多個非零項」，不是來自一般級數理論。
• S12.1 · premise_audit · S11.1, finite_counting_basics — 這是把 K 單射到 {1,2,3}（每個 k 取 I_k 中的一個指標）；單射進 3 元集合推出 |K|≤3。
• S12 · premise_audit · L_ctbl_add, S11 — 此處化約依賴原子只有 3 個，因而 Σ 有限；並不要求每個原子或載體本身有限。無限載體若仍只有有限個原子、Σ 為其聯集族，同樣可化約。錯誤控制 2 只說明任意無限事件族的有限可加性不足以保證可數可加性。
• S11.2 · premise_audit · S11.1, S06, finite_sum_rules — 拆和需要指標集不交；若有重疊，重疊的權重會被算兩次。
• S11.1 · premise_audit · S02, set_operations_def — 用到原子非空；反向（I∩J=∅ 推出 E∩F=∅）也成立但此處不需要。
• S11 · premise_audit · L_fin_add — 條件 E∩F=∅ 不可省：{0,1,2} 與 {0,3} 相交，μ 的和 5/6+2/3 大於 μ({0,1,2,3})=1。
• S10 · premise_audit · finite_sum_rules, order_basics — 需要每個權重 m_i≥0；若某個權重為負，非負性就可能失敗。
• S09 · premise_audit · L_rep_unique, G3, numeric_evaluation — 本構造以表示唯一保證定義良好；一般只需不同表示給相同值。8 個值都可由 N2 到 N5 獨立重算。
• S08 · premise_audit · S04, S05, S07 — 三條責任缺一不可；只含 ∅ 與 X 並不足夠（S14）。
• S07.3 · premise_audit · S04, S06, nat_induction — 歸納只對有限的 |D| 進行；它不證明任意無限聯集封閉，那一步由 S07.1 的有限性取代。
• S07.2 · inverse_equivalence · set_extensionality, set_operations_def — ⇒：x∈E_k 時取 E=E_k∈D；⇐：E∈D 意味 E=E_k 對某個 k。雙向都成立。
• S07.1 · premise_audit · S03, subset_def — 有限集的子集有限；這裡沒有宣稱序列本身有限。
• S07 · premise_audit · L_countable_reduce, S06 — 關鍵前提是 Σ 有限（S03）；在無限 σ-代數上，可數聯集不能這樣化為有限聯集。
• S06.1 · inverse_equivalence · set_operations_def, set_extensionality — 每一環都是定義的雙向改寫，所以整條鏈雙向成立；這一步不需要原子不交。
• S06 · premise_audit · L_union, S03 — 二元聯集封閉是可數聯集封閉的必要部分，但本身還不夠；S07 處理可數情形。
• S05.2 · premise_audit · S02, S05.1, set_extensionality — 用到「每點至多在一個原子中」（兩兩不交）；兩個包含合起來才是相等。
• S05.1 · premise_audit · S02, set_operations_def — 用到「每點至少在一個原子中」（聯集為 X）。
• S05 · premise_audit · L_complement, S03 — 依賴原子構成分割（S02）；對任意集合族，補集一般不會自動留在族內（見 S14）。
• S04 · premise_audit · S03, def_unfold — 只用到空聯集的定義。
• S03.2 · premise_audit · S03.1, finite_counting_basics — 單射加上逐一列出才得到 |Σ|=8 與清單吻合。
• S03.1 · premise_audit · S02, contradiction, set_operations_def — 非空性給出點 a，不交性把 j 鎖定為 i；兩個條件缺一不可。
• S03 · premise_audit · S02, L_rep_unique, G2 — 單射性依賴原子非空且兩兩不交（S02）；若原子重疊，同一集合可能有兩個指標集。
• S02 · premise_audit · G1, set_operations_def — 三對交集與一個聯集是完整的有限核對；非空性在 S03.1 與 S12.1 要用到。
• S01 · premise_audit · mko_sigma_def — 只展開定義，不產生新事實；這張清單就是後面要逐項完成的責任表。

錯誤控制與反例

含 ∅ 與全體不夠

MKO 指出的誤解之一是只因集合族含 ∅ 與全體，就直接稱它為 σ-代數。σ-代數還要求補集與可數聯集封閉。S14 的 𝒢 含 ∅ 與 X，卻缺 {0} 的補集 {1,2,3}，也缺 {0}∪{1}。（只含 ∅ 與 X 的族 {∅,X} 本身確實是 σ-代數，但那是因為它通過全部封閉性檢查，不是因為含 ∅ 與 X。）

有限加法不能無條件外推

S07 與 S12 的歸約用到 Σ 有限、原子只有 3 個。載體無限本身不阻止化約，例如以偶數與奇數為兩個原子的四事件 σ-代數仍可化約。但不能對任意無限事件族直接這樣做：在 ℕ 的有限或餘有限子集族上定義 λ(A)=0（A 有限）、λ(A)=1（A 餘有限）。兩個不交集合不可能都是餘有限（兩個餘有限集之交仍是餘有限，因而非空），由此可驗證 λ 有限可加；但 ℕ 是單點集 {n} 的可數不交聯集，λ(ℕ)=1 而 Σλ({n})=0，可數可加失敗。這個族也不是 σ-代數（偶數集是單點集的可數聯集，卻既非有限也非餘有限）。

唯一表示保證本構造定義良好

μ 是透過指標集定義的，須核對不同表示是否給同一個值。僅有重疊不必然使表示不唯一；例如另取 B₁={0,1}、B₂={1,2}、B₃={0,1,2} 並各給權重 1，B₁∪B₂=B₃，指標 {1,2} 與 {3} 卻給出總權重 2 與 1，此時該規則就不定義良好。S03.1 的 L_rep_unique 由給定原子非空且兩兩不交證明表示唯一，足以保證 S09 的構造定義良好。

• 任何含 ∅ 與 X 的集合族都是 σ-代數 → reject — 𝒢={∅,{0},{1},X} 含兩者，但 {0} 的補集 {1,2,3}∉𝒢（S14）。
• ν 非負且 ν(∅)=0，所以 ν 是測度 → reject — {0} 與 {1,2} 不交，但 ν({0,1,2})=1≠5/6=ν({0})+ν({1,2})（S15）。
• 因為 μ 在這個有限 Σ 上有限可加即可數可加，所以任何載體上有限可加的集函數都可數可加 → reject — ℕ 的有限/餘有限族上的 0-1 值 λ 有限可加，但 λ(ℕ)=1≠0=Σλ({n})（錯誤控制 2）。
• μ 是 X 的冪集上的機率測度，所以 μ({1}) 有定義 → reject — μ 只定義在 Σ 上；{1} 不是原子聯集（它只含 A_2 的一部分），不在 Σ 中，Σ 不是冪集。

結論與限制

Σ={E_I ∣ I⊆{1,2,3}} 恰有 8 個集合，含 ∅、對補集封閉（X∖E_I=E_{I'}）、對可數聯集封閉（化為至多 8 個相異集合的有限聯集），所以是 σ-代數；μ(E_I)=Σ_{i∈I}m_i 定義良好、非負、μ(∅)=0，且可數可加（互斥序列至多 3 個非空成員），μ(X)=1，所以 (X,Σ,μ) 是機率空間。𝒢={∅,{0},{1},X} 不是 σ-代數，ν 不是測度。

• 錯誤控制 2 的有限/餘有限例子以文字論證，沒有拆成編號步驟；本稿的結論不依賴它。
• 本稿不證明「有限集上的每個 σ-代數都由某個分割的原子生成」；這裡的 Σ 是由給定原子直接構造的。
• 可測函數、Lebesgue 積分與收斂定理（MKO 的 formal next）不在範圍內。

驗證及來源綁定

8 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

• source commit: b28a5edbd46279b1db2a3f3f48bb3f447e18899f
• adopted source SHA-256: bfb135ecb5d6a207da34abed712f1b8ff3396f1a8b27a67641074674be0911ca
• original source SHA-256: 8f515e03122f38b50b7ae712b1e7f7a1dbe068f8776f00b0a9a35142bd5feba6
• Lean: NOT_RUN · independent AI: NOT_MEASURED

同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）