標準常態的對稱推導與named facts

目標與範圍

清楚分開Gaussian前提與由它們推得的CDF對稱性。

不以有限quadrature證Gaussian積分或moments。

已知條件與符號

• work

• G1 — φ(x)=(2π)^(-1/2)exp(-x²/2)，Z具有此density，Φ(t)=P(Z≤t)。
• G2 — 明列named theorem facts：Gaussian積分為sqrt(2π)，因此density歸一；E[Z]=0，E[Z²]=1。這些是前提，不在本例證明。

• φ — 標準常態density
• Φ — 標準常態CDF
• Z — 實值隨機變數

規則與來源

本稿部分規則文字經本輪讀者釐清，屬於改述而非逐字引文；被引用的原始來源內容及雜湊沒有改動。

• mko_definition · cited — 本節點把 Gaussian integral normalization、E[Z]=0 與 Var(Z)=1 明列為 named theorem facts，不以有限 quadrature 偽造完整推導。題庫可精確處理 density symbolic form、evenness、phi(x)/phi(0)=exp(-x^2/2)，以及由 declared normalization 與 symmetry 推出 Phi(0)=1/2 與 Phi(-x)=1-Phi(x)。本節不計算一般非零 x 的 elementary exact CDF 數值；有限數值積分不證 normalization 或 moments，continuous CDF 也不自動有 density 或是 normal law。 · mko-standard-normal-distribution
• work · prerequisite — Gaussian積分與moments為明示named theorem前提；另假設積分線性、變數代換、density law無原子及variance二次矩identity。

逐步主鏈

\varphi(x)=\frac{e^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}}

\varphi(x)>0\quad(x\in\mathbb R)

\int_{\mathbb R}e^{-x^2/2}\,dx=\sqrt{2\pi}\quad\text{(assumed)}

\int_{\mathbb R}\varphi(x)\,dx=1

(-x)^2=x^2

\varphi(-x)=\varphi(x)

\varphi(0)=1/\sqrt{2\pi}

\varphi(x)/\varphi(0)=e^{-x^2/2}

\Phi(-t)=\int_{-\infty}^{-t}\varphi(u)\,du

\Phi(-t)=\int_t^\infty\varphi(v)\,dv=1-\Phi(t)

t=0,\quad\Phi(0)=1-\Phi(0)

\Phi(0)=1/2

E[Z]=0,\quad E[Z^2]=1\quad\text{(assumed)}

\operatorname{Var}(Z)=E[Z^2]-E[Z]^2=1

t=1

\Phi(-1)=1-\Phi(1),\quad\varphi(1)/\varphi(0)=e^{-1/2}

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · G1, G2, S07, work — Φ(1)未被本推導求成有理數，有限integration也不證前提。
• S07 · premise_audit · G1, G2, S06, work — 不把moment前提重新標成此例完成的積分證明。
• S06 · premise_audit · G1, G2, S05, work — 此exact值來自對稱與歸一，非approximation。
• S05 · premise_audit · G1, G2, S04, work — 補事件的端點差因無原子為零。
• S04 · premise_audit · G1, G2, S03, work — 這是density比值，不是CDF比值。
• S03 · premise_audit · G1, G2, S02, work — 對稱中心是0，沒有引入未知μ。
• S02 · premise_audit · G1, G2, S01, work — 這不是從幾個數值積分點回推整個積分。
• S01 · premise_audit · G1, G2, work — 非負性本身不證積分等於一。

錯誤控制與反例

前提標記

歸一與moments保持named facts，不宣稱本例已證。

事件與門檻

Φ(t)=P({ω:Z(ω)≤t})，t是標量門檻。

• 取幾個quadrature值就證歸一。 → reject — 有限數值不是整實軸積分證明。
• Φ(1)=φ(1)。 → reject — φ正故Φ(1)>Φ(0)=1/2；而φ(1)<φ(0)=1/sqrt(2π)<1/2（π>2），故不等。
• 任意連續CDF都是standard normal。 → reject — 均勻分布的連續CDF即不同。

結論與限制

在明示Gaussian前提下，Φ(-t)=1-Φ(t)、Φ(0)=1/2、Var(Z)=1。

驗證及來源綁定

2 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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