二元聯立一次方程組：唯一解公式、兩列核對與 D=0 的一致性判定

目標與範圍

(I) 解 2x+3y=7、x−y=1：證明 D=ae−bd≠0 時的唯一解公式，求解並代入兩列核對；(II) 判定 x+2y=3、2x+4y=7；(III) 判定 x+2y=3、2x+4y=6；並以 (IV) 0x+0y=1、0x+0y=2 說明 D 與兩個 Cramer 分子都為零時不能斷定有無限多解。

在 MKO 的範圍內工作：實數未知數 x、y 的兩個方程；四組具體例子的係數為整數，一般唯一解公式則對 G1 的實數係數證明。完整證明 D≠0 時恰有一解及其公式；D=0 時以列運算（保持解集的等價變形）逐例判定無解或無限多解，並檢查零列。不給出 D=0 時一般的秩判準證明；不從示意直線交點猜解；不改動 canonical MKO 或英文 edition。

已知條件與符號

• eq_congruence
• distributive
• mul_inverse_nonzero
• mul_zero
• numeric_evaluation
• solution_def

• G1 — 未知數 x、y 為實數；一般系統為 ax+by=c、dx+ey=f，係數與右側常數為實數；L(x,y)=(ax+by−c, dx+ey−f)，z=(0,0)，D=ae−bd。
• G2 — 系統 I：2x+3y=7、x−y=1，即 a=2、b=3、c=7、d=1、e=−1、f=1。
• G3 — 系統 II：x+2y=3、2x+4y=7；系統 III：x+2y=3、2x+4y=6；系統 IV：0x+0y=1、0x+0y=2（零係數列容許作為限制，MKO 假設 a2）。

• ax+by=c,\ dx+ey=f — 兩列方程（係數 a 到 f 為實數）
• L(x,y) — (ax+by−c, dx+ey−f)
• z — 零向量 (0,0)
• D — ae−bd，二階行列式
• r_1,\ r_2 — 第一列、第二列方程
• r_2-\lambda r_1 — 第二列減去第一列的 λ 倍

規則與來源

• eq_congruence · prerequisite — 等式同用：若 u=v，對兩邊做同一個有定義的運算 f，得 f(u)=f(v)。只對一邊做運算不屬於此規則。
• distributive · prerequisite — 分配律：u(v+w)=uv+uw；配合乘法交換律也有 (v+w)u=vu+wu。
• mul_inverse_nonzero · prerequisite — 非零數的倒數：在 ℚ、ℝ、ℂ 中，若 u≠0，存在 1/u 使 u·(1/u)=1；對 u≠0 定義 v/u 為 v·(1/u)。u=0 時沒有倒數，v/0 不定義。
• mul_zero · prerequisite — 乘以零：u·0=0。理由：u·0=u·(0+0)=u·0+u·0，兩邊同減 u·0 得 0=u·0。
• numeric_evaluation · prerequisite — 明確整數或有理數算式的精確求值；可以獨立重算。
• cartesian_product_def · prerequisite — 笛卡兒積：A×B 是所有有序對 (a,b)（a∈A、b∈B）的集合；(a,b)=(c,d) ⇔ a=c 且 b=d。
• frac_rules · prerequisite — 分數運算（分母皆非零）：a/c+b/c=(a+b)/c；(a/b)(c/d)=(ac)/(bd)；(a/b)/(c/d)=(ad)/(bc)（另需 c≠0）；a/b=(ak)/(bk)（k≠0）。
• mul_comm · prerequisite — 乘法交換律：uv=vu（在交換的數系中，例如 ℤ、ℚ、ℝ、ℂ）。
• add_inverse · prerequisite — 加法反元素：每個 u 都有 −u，使 u+(−u)=0；u−v 定義為 u+(−v)。
• mul_assoc · prerequisite — 乘法結合律：(uv)w=u(vw)。
• mul_one · prerequisite — 乘法單位元：1·u=u。
• add_assoc · prerequisite — 加法結合律：(u+v)+w=u+(v+w)。
• add_zero · prerequisite — 加法單位元：u+0=u。
• and_intro_elim · prerequisite — 合取：由 P 與 Q 得 P∧Q；由 P∧Q 可分別得 P 與 Q。
• set_extensionality · prerequisite — 集合相等：A=B 當且僅當 A⊆B 且 B⊆A，即兩者有相同元素。
• injective_surjective_def · prerequisite — 單射：f(a)=f(a′) ⇒ a=a′。滿射：每個 b∈B 都有 a∈A 使 f(a)=b。雙射：既單又滿，此時有唯一反函數 f⁻¹ 使 f⁻¹∘f=id_A、f∘f⁻¹=id_B。
• mko_linear_system · cited — 令 x、y 為實數未知數，要求 a x+b y=c 與 d x+e y=f 同時成立。令 L(x,y)=(a x+b y−c,d x+e y−f)，z=(0,0)，則解集滿足 L(x,y)=z。D=ae−bd≠0 時唯一解為 x=(ce−bf)/D、y=(af−cd)/D；D=0 時須檢查一致性，可能無解或無限多解。 · mko-system-linear-equations
• solution_def · prerequisite — (x,y)∈ℝ² 是系統的解，當且僅當 L(x,y)=z，即兩個方程同時成立（有序對相等）。
• L_cramer · lemma — 若 D=ae−bd≠0，則系統 ax+by=c、dx+ey=f 恰有一解，即 x=(ce−bf)/D、y=(af−cd)/D。
• L_row_replace · lemma — 對任意實數 λ，系統 {ax+by=c, dx+ey=f} 與 {ax+by=c, (d−λa)x+(e−λb)y=f−λc} 有相同的解集。

逐步主鏈

L(x,y)=z

ax+by=c\ \land\ dx+ey=f

D=ae-bd

D=2\cdot(-1)-3\cdot 1=-5\neq 0

D=-5\neq 0

x=\frac{7\cdot(-1)-3\cdot 1}{-5}=2,\quad y=\frac{2\cdot 1-7\cdot 1}{-5}=1

(x,y)=(2,1)

2\cdot 2+3\cdot 1=7\ \land\ 2-1=1

(x,y)=(5,-1)

2\cdot 5+3\cdot(-1)=7,\ \ 5-(-1)=6\neq 1

x+2y=3,\ 2x+4y=7

D=1\cdot 4-2\cdot 2=0

x+2y=3\ \land\ 2x+4y=7

x+2y=3\ \land\ 0x+0y=1

0x+0y=1

0=1\ \text{for every}\ (x,y),\ \text{solution set of II}=\varnothing

x+2y=3\ \land\ 2x+4y=6

x+2y=3\ \land\ 0x+0y=0\ \Leftrightarrow\ x+2y=3

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x+2y=3\}

\{(3-2t,\,t)\mid t\in\mathbb{R}\}

\{(3-2t,\,t)\mid t\in\mathbb{R}\}

\text{infinitely many solutions, e.g.}\ (3,0),\ (1,1)

0x+0y=1,\ 0x+0y=2

D=0,\ ce-bf=0,\ af-cd=0,\ \text{yet no solution}

\text{S03, S04, S08, S10, S11, S12}

\text{I}:\ \{(2,1)\};\ \text{II}:\ \varnothing;\ \text{III}:\ \{(3-2t,t)\mid t\in\mathbb{R}\};\ \text{IV}:\ \varnothing

局部子步與引理

ax+by=c\ \land\ dx+ey=f

(ae-bd)x=ce-bf

ax+by=c\ \land\ dx+ey=f

(ae-bd)y=af-cd

Dx=ce-bf,\quad Dy=af-cd,\quad D\neq 0

x=\frac{ce-bf}{D},\quad y=\frac{af-cd}{D}

x_0=\frac{ce-bf}{D},\ y_0=\frac{af-cd}{D}

ax_0+by_0=c\ \land\ dx_0+ey_0=f

ax+by=c\ \land\ dx+ey=f

ax+by=c\ \land\ (d-\lambda a)x+(e-\lambda b)y=f-\lambda c

逐步反向審查

• S13 · sufficient_goal_reduction · S03, S04, S08, S10, S11, S12, and_intro_elim — 目標 G：四個系統的判定。足夠條件 H：所列各步的結論；H⇒G 只是合取，H 由 G1 到 G3 正向證成，沒有把 G 當作前提。
• S12 · premise_audit · mul_zero, add_zero, numeric_evaluation — 一個具體反例就足以否定這個一般說法（N19 到 N21）；此步不給出 D=0 時的一般判準。
• S11 · premise_audit · S10, cartesian_product_def — 需要參數化是單射（不同 t 不同解）；例子只是示範，結論來自參數化。
• S10 · inverse_equivalence · set_extensionality, eq_congruence — 兩個包含都已證明，所以是集合相等。
• S09 · inverse_equivalence · L_row_replace, mul_zero, add_zero, and_intro_elim — 列運算雙向保持解集；與恆真條件做合取不改變真假，雙向成立。
• S08 · premise_audit · mul_zero, add_zero, S07 — 需要 S07 的解集等價；只因 D=0 不能推出無解，必須看到不一致的零列。
• S07.1 · inverse_equivalence · eq_congruence, distributive — 兩向都有理由；關鍵是第一列被保留，所以可以把它的 λ 倍加回去。
• S07 · inverse_equivalence · L_row_replace — 引理兩向在 S07.1 證明：減去 2 倍第一列，與加回 2 倍第一列，互為反運算。
• S06 · premise_audit · mko_linear_system, numeric_evaluation — D 的計算可重算（N12、N22）；此步只排除公式，不判定解集。
• S05 · premise_audit · solution_def, numeric_evaluation — 一列失敗就足以排除（N10、N11）。
• S04 · premise_audit · solution_def, numeric_evaluation — 必須代入兩列（N8、N9）；唯一性另由 S03.3 保證，不由這次代入推出。
• S03.4 · premise_audit · frac_rules, distributive, mul_inverse_nonzero — 同分母相加與約去 D 都需要 D≠0。唯一性（S03.3）加存在性（此步）才是「恰有一解」。
• S03.3 · premise_audit · S03.1, S03.2, mul_inverse_nonzero — 此步只給唯一性；這一對數確實是解（存在性）另在 S03.4 證明。
• S03.2 · premise_audit · eq_congruence, distributive — 同 S03.1，只是必要條件，不宣稱反向。
• S03.1 · premise_audit · eq_congruence, distributive — 這是必要條件：只推出 x 必須滿足的方程，反向不宣稱（D=0 時這一行可能是 0=0，什麼也不限制）。
• S03 · premise_audit · S02, L_cramer — 唯一的前提是 D≠0（S02）；數值見 N2、N3。D=0 時這一步不可用。
• S02 · inverse_equivalence · numeric_evaluation — 精確整數計算，可重算（N1）。
• S01 · inverse_equivalence · cartesian_product_def, eq_congruence — 有序對相等是雙向的；兩邊同加或同減常數也是雙向的。

錯誤控制與反例

只代入一列不夠

MKO 指出的誤解之一是只代入一列。(5,−1) 滿足 2x+3y=7，卻使 x−y=6≠1（S05）。驗證候選解必須代入兩列，且若候選值含分母，要先確認分母非零。

D=0 時不能除

MKO 的第二個誤解是在 D=0 時套用除法。系統 II 與 III 的 D 都是 0，結果卻一個無解、一個有無限多解（S08、S11）；公式除以 0 沒有定義，也分辨不出這兩種情況。必須用保持解集的列運算或一致性檢查來判定。

不要忽略 0=非零 的零列

MKO 的第三個誤解是忽略不一致零列。0x+0y=c 在 c≠0 時對任何 (x,y) 都不成立，整個系統因此無解（S08、S12）。系統 IV 的 D 與兩個 Cramer 分子都為零，若只看這三個數會誤判為無限多解。

• (5,−1) 滿足 2x+3y=7，所以是系統 I 的解 → reject — 第二列 5−(−1)=6≠1；解必須同時滿足兩列。
• 系統 II 的解是 x=(3·4−2·7)/0 → reject — 除以 0 沒有定義；系統 II 經列運算出現 0=1，無解。
• 系統 IV 的 D 與兩個 Cramer 分子都為零，所以有無限多解 → reject — 第一列對每個 (x,y) 都是 0=1，為假，所以無解。
• 系統 III 的解只有 (3,0) → reject — (1,1) 也滿足兩列；解集是 {(3−2t,t) ∣ t∈ℝ}，有無限多個。

結論與限制

D≠0 時系統恰有一解 x=(ce−bf)/D、y=(af−cd)/D（已完整證明）。系統 I（D=−5）的唯一解是 (2,1)，兩列都已核對；(5,−1) 只滿足一列，不是解。系統 II（D=0）化為 0=1，無解；系統 III（D=0）化為 x+2y=3，解集 {(3−2t,t) ∣ t∈ℝ}，無限多解；系統 IV 的 D 與兩個 Cramer 分子都為零，卻無解。

• D=0 時一般的秩與增廣矩陣一致性判準未在本稿證明；系統 II、III、IV 是逐例以列運算或零列判定。
• N4 到 N7 是多項式恆等式的格點核對（每個變數次數至多 2），對應 S03.1 到 S03.4 的代數展開；論證不依賴它們。

驗證及來源綁定

22 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

• source commit: b28a5edbd46279b1db2a3f3f48bb3f447e18899f
• adopted source SHA-256: 0f098bbbe0d8574f864b3569777f182c32f28dd1c5a192d61ca7d28c7748ec19
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• Lean: NOT_RUN · independent AI: NOT_MEASURED

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