三次多項式的精確 Lagrange 餘項

目標與範圍

以 f(x)=x^3、a=1、n=2、x=2 核精確餘項及有效導數界。

完整 degree n+1 多項式；不以中心 finite jet 證一般區間定理。

已知條件與符號

• algebra
• polynomial
• taylor_def

• G1 — f(x)=x^3，a=1，n=2，評估點 2，連接區間 [1,2]。

• R_2 — f-T 的餘項
• D,M — 精確導數 sup 與候選界

規則與來源

• mko_definition · cited — 明示center a、point x、order n與完整polynomial coefficients，直接算Taylor polynomial與remainder。degree≤n時remainder為0；degree n+1時以constant (n+1)th derivative及strictly intermediate midpoint給exact Lagrange witness。exact boundary只接受M至少為derivative supremum的valid bound，或0≤M<D的undersized witness；負M與其他假mode拒絕。finite jet不推出一般remainder theorem、Taylor-series equality或analyticity。 · mko-taylor-remainder-theorem
• algebra · prerequisite — 實數域的等式運算；除法前分母必非零，不等式乘正數保持方向。
• polynomial · prerequisite — 多項式在實數上連續且可逐項微分；d(x^k)/dx=k x^(k-1)，常數導數為零。
• taylor_def · prerequisite — 中心 a 的 T_n 為 k=0 至 n 的 f^(k)(a)*(x-a)^k/k! 之和；remainder 為 f-T_n；導數 sup 取完整連接區間的絕對值最小上界。

逐步主鏈

f'=3x^2,\quad f''=6x,\quad f'''=6

(f(1),f'(1),f''(1))=(1,3,6)

T_2(x)=\sum_{k=0}^2\frac{f^{(k)}(1)}{k!}(x-1)^k

T_2(x)=1+3(x-1)+3(x-1)^2

f(2)=8,\quad T_2(2)=7

R_2(2)=f(2)-T_2(2)=1

\xi=(1+2)/2=3/2\in(1,2)

\frac{f'''(\xi)}{3!}(2-1)^3=\frac6{6}=1=R_2(2)

D=\sup_{t\in[1,2]}|f'''(t)|

D=6,\quad M=6\ge D

|R_2(2)|\le\frac M{3!}|2-1|^3

1\le1\quad(M=6)

M=3<D=6

\frac M{3!}|2-1|^3=1/2<|R_2(2)|=1

x=a=1

R_2(1)=0;\quad M=0\text{ gives }0\le0\text{ but is not a bound on }|f'''|

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · S02, S05 — 區分 bound 資格與偶然單點不等式。
• S07 · premise_audit · S03, S05 — 負 M 更不合 bound 定義，但不是本 undersized witness 的混入。
• S06 · premise_audit · S03, S04, S05 — 界前提 M≥D 獨立於最後數值比較。
• S05 · premise_audit · S01, taylor_def — 不是只在中心或若干 sample 找最大。
• S04 · premise_audit · G1, S01, S03 — 評估點不同中心，才有此嚴格中點可選。
• S03 · inverse_equivalence · S02 — 此處 remainder 是 f-T，不是反號。
• S02 · premise_audit · G1, S01, taylor_def — 二階 6/2!=3。
• S01 · premise_audit · G1 — 中心 jet 與區間三階資料都由完整多項式給出。

錯誤控制與反例

區間責任

M 要控制整個連接區間的所需導數。

符號及 factorial

固定 R=f-T 並除 (n+1)!。

• 有限二階 jet 自動給任意連接區間的三階導數界。 → reject — f_K(x)=1+3(x-1)+3(x-1)^2+K(x-1)^3 的中心二階 jet 都是 (1,3,6)，但三階導數 6K 可任意大。
• M=3 是有效三階界。 → reject — 三階導數絕對值恆為 6。
• x=a 時誤差式成立就證 M 合格。 → reject — 零位移可掩蓋錯界，S08 明示。

結論與限制

餘項 1、內點 witness 3/2、有效界 M=6；M=3 在此例失敗。

驗證及來源綁定

3 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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