邊界與補集的精確對照

目標與範圍

計算鏈狀拓撲中 A={b} 與其補集的邊界。

完整有限開閉集計算，未使用度量或圖形。

已知條件與符號

• sets
• topology
• definition_here

• G1 — X={a,b,c}，tau={空集,{a},{a,b},X}，A={b}，D=X\A={a,c}。

• \partial A — 拓撲邊界
• D — 相對 X 的補集

規則與來源

• mko_definition · cited — 完整驗有限拓撲後精確計算closure與interior。保留boundary(A)=boundary(complement A)、空集與全空間邊界，以及拓撲相對性。neighborhood contact若使用必須枚舉全部open neighborhoods。 · mko-topological-boundary
• sets · prerequisite — 集合的聯、交、補集、包含與函數逆像以逐元素定義計算。
• topology · prerequisite — 拓撲含空集與全集，對任意聯及有限交封閉；有限集合族可完整核對。
• definition_here · prerequisite — 閉集為開集補集，閉包取全部閉超集交，內部取全部開子集聯；邊界為閉包減內部。

逐步主鏈

\varnothing\subset\{a\}\subset\{a,b\}\subset X

\tau\text{ is a topology}

\mathcal F=\{X\setminus U:U\in\tau\}

\mathcal F=\{X,\{b,c\},\{c\},\varnothing\}

F\supseteq A,\quad F\in\mathcal F

\overline A=X\cap\{b,c\}=\{b,c\}

U\subseteq A,\quad U\in\tau

A^\circ=\bigcup\{\varnothing\}=\varnothing

\partial A=\overline A\setminus A^\circ

\partial A=\{b,c\}

D=\{a,c\}

\overline D=X,\quad D^\circ=\{a\}

\partial D=\overline D\setminus D^\circ

\partial D=\{b,c\}=\partial A=\overline A\cap\overline D

\overline\varnothing=\varnothing,\ \varnothing^\circ=\varnothing,\ \overline X=X=X^\circ

\partial\varnothing=\partial X=\varnothing

局部子步與引理

本稿無局部子步。

逐步反向審查

• S08 · premise_audit · S01, S02 — 每個閉包與內部均可由已列族直接核對。
• S07 · premise_audit · S05, S06 — 三個集合等式逐元素核對，只聲稱此明示例子。
• S06 · premise_audit · G1, S01, S02 — 對 D 重新完整列舉，不由圖形猜對稱。
• S05 · premise_audit · S03, S04 — 結果不必是 A 的子集；c 在邊界但不在 A。
• S04 · premise_audit · G1, S01 — 並未把集合自身誤當成開集。
• S03 · premise_audit · G1, S02 — {c} 與空集不含 b，故閉超集枚舉完整。
• S02 · premise_audit · G1, S01 — 每個補集再補一次恰好回原開集。
• S01 · premise_audit · G1 — 此族完整列出四項，鏈性足以核全部公理。

錯誤控制與反例

兩側獨立計算

對 A 及補集分別列完整開子集與閉超集。

不換全集

差集和補集固定相對 X。

• 邊界必包含於 A。 → reject — c 屬邊界卻不屬 A。
• X 的邊界是 X。 → reject — X 的閉包及內部均 X，作差後為空。
• 此結果由三點之間的距離決定。 → reject — 未指定度量，答案來自所列拓撲。

結論與限制

兩個互補集合的邊界皆 {b,c}；空集及 X 邊界皆空。

驗證及來源綁定

0 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

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• Lean: NOT_RUN · independent AI: SCOPED_LEAD_AND_BILINGUAL_CONTEXT_REVIEW

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