固定基底下的平面向量：逐分量運算、相等判定與減法方向

目標與範圍

在固定標準基底下，設 u=(3,−1)、v=(−2,4)、w=(1,3)、k=−2。逐分量計算 u+v、u−v、v−u、ku、0u、2u+v；求滿足 u+x=v 的向量 x；核對 k(u+v)=ku+kv；並判定 u=w 與 u=(−1,3) 是否成立。

在 MKO 的範圍內工作：固定標準基底、實數分量與純量，題目用整數的精確數值。示範逐分量運算與逐分量相等，並證明三個一般小引理（u−v=−(v−u)、u+x=v 的唯一解、純量對向量加法的分配律）。不由分量推論長度、角度、單位向量或基底變換；不處理一般向量空間公理或物理單位；不改動 canonical MKO 或英文 edition。

已知條件與符號

• cartesian_product_def
• add_inverse
• distributive
• neg_mul
• numeric_evaluation
• neg_vec_def

• G1 — 基底固定為標準基底；向量是分量對 (z₁,z₂)∈ℝ²，加法、減法與純量乘法逐分量進行，兩向量相等當且僅當兩個對應分量都相等，零向量為 (0,0)。
• G2 — u=(3,−1)、v=(−2,4)、w=(1,3)、k=−2（整數分量與整數純量，MKO 假設 a1）。
• G3 — 這裡的有序對代表向量分量，不把幾何點、位置向量與任意座標系混為同一對象（MKO 假設 a2）。

• u=(u_1,u_2) — 以固定標準基底的分量表示的平面向量
• u+v,\ u-v — 逐分量的和與差
• ku — 純量 k 乘向量 u，結果仍是向量
• -z — (−1)z=(−z_1,−z_2)
• (0,0) — 零向量

規則與來源

• cartesian_product_def · prerequisite — 笛卡兒積：A×B 是所有有序對 (a,b)（a∈A、b∈B）的集合；(a,b)=(c,d) ⇔ a=c 且 b=d。
• add_inverse · prerequisite — 加法反元素：每個 u 都有 −u，使 u+(−u)=0；u−v 定義為 u+(−v)。
• distributive · prerequisite — 分配律：u(v+w)=uv+uw；配合乘法交換律也有 (v+w)u=vu+wu。
• neg_mul · prerequisite — 負號與乘法：(−u)v=−(uv)，(−u)(−v)=uv。
• numeric_evaluation · prerequisite — 明確整數或有理數算式的精確求值；可以獨立重算。
• add_comm · prerequisite — 加法交換律：u+v=v+u。
• eq_congruence · prerequisite — 等式同用：若 u=v，對兩邊做同一個有定義的運算 f，得 f(u)=f(v)。只對一邊做運算不屬於此規則。
• add_assoc · prerequisite — 加法結合律：(u+v)+w=u+(v+w)。
• add_zero · prerequisite — 加法單位元：u+0=u。
• mul_zero · prerequisite — 乘以零：u·0=0。理由：u·0=u·(0+0)=u·0+u·0，兩邊同減 u·0 得 0=u·0。
• mul_comm · prerequisite — 乘法交換律：uv=vu（在交換的數系中，例如 ℤ、ℚ、ℝ、ℂ）。
• and_intro_elim · prerequisite — 合取：由 P 與 Q 得 P∧Q；由 P∧Q 可分別得 P 與 Q。
• mko_vector_ops · cited — 在固定標準基底下，平面向量 u=(u₁,u₂)∈R²；u+v=(u₁+v₁,u₂+v₂)，k u=(k u₁,k u₂)，u−v=(u₁−v₁,u₂−v₂)。向量相等當且僅當兩個對應分量相等；零向量為 (0,0)。 · mko-vector
• neg_vec_def · prerequisite — 向量的負：−z 表示 (−1)z=(−z₁,−z₂)。
• L_sub_reverse · lemma — 對所有 u、v∈ℝ²：u−v=−(v−u)。
• L_solve_vec · lemma — 對所有 u、v、x∈ℝ²：u+x=v ⇔ x=v−u。
• L_scalar_distrib · lemma — 對所有實數 k 與 u、v∈ℝ²：k(u+v)=ku+kv。

逐步主鏈

u=(3,-1),\ v=(-2,4),\ w=(1,3),\ k=-2

u+v=(u_1+v_1,u_2+v_2),\ ku=(ku_1,ku_2),\ u-v=(u_1-v_1,u_2-v_2)

u+v

(3+(-2),\,-1+4)=(1,3)

u-v

(3-(-2),\,-1-4)=(5,-5)

v-u

(-2-3,\,4-(-1))=(-5,5)

u-v=(5,-5),\ v-u=(-5,5)

u-v=-(v-u)

u-v=(5,-5),\ v-u=(-5,5)

u-v\neq v-u

u+x=v

x=v-u=(-5,5)

ku,\ k=-2

(-2\cdot 3,\,-2\cdot(-1))=(-6,2)

0u

(0\cdot 3,\,0\cdot(-1))=(0,0)

2u+v

(6,-2)+(-2,4)=(4,2)

k(u+v),\ ku+kv

-2(1,3)=(-2,-6)=(-6,2)+(4,-8)

u=(3,-1),\ w=(1,3),\ u_1^2+u_2^2=w_1^2+w_2^2=10

u\neq w

u=(3,-1),\ (-1,3)

u\neq(-1,3)

\text{S02 to S13}

u+v=(1,3),\ u-v=(5,-5),\ v-u=(-5,5),\ ku=(-6,2),\ 0u=(0,0),\ 2u+v=(4,2),\ x=(-5,5)

局部子步與引理

u-v,\quad -(v-u)

(u_1-v_1,\,u_2-v_2),\quad (-(v_1-u_1),\,-(v_2-u_2))

-(v_i-u_i)

u_i-v_i\quad(i=1,2)

u+x=v

x=v-u

x=v-u

u+x=v

k(u+v)

(k(u_1+v_1),k(u_2+v_2))=(ku_1+kv_1,ku_2+kv_2)=ku+kv

逐步反向審查

• S14 · sufficient_goal_reduction · S02, S03, S04, S07, S08, S09, S10, S11, S12, S13, and_intro_elim — 目標 G：題目要求的各項計算與判定。足夠條件 H：所列各步的結論；H⇒G 只是合取，H 由 G1、G2 正向證成，沒有把 G 當作前提。
• S13 · premise_audit · cartesian_product_def — 有序對相等需要逐位置相等；一個位置不同就足以否定。
• S12 · premise_audit · cartesian_product_def, numeric_evaluation — 一個分量不同就足以推出不等（N20）；不宣稱平方和與任何幾何量的關係。
• S11.1 · inverse_equivalence · mko_vector_ops, distributive, cartesian_product_def — 每個等號都是恆等式，兩個分量都相等，所以雙向成立。
• S11 · premise_audit · L_scalar_distrib, S02, S08 — 引理在 S11.1 對所有 k、u、v 證明；本例數字只是核對，不取代證明。
• S10 · inverse_equivalence · mko_vector_ops, numeric_evaluation — 逐分量重算（N14、N15）。
• S09 · inverse_equivalence · mul_zero, mul_comm, mko_vector_ops — 逐分量相等（N12、N13），兩向成立。
• S08 · inverse_equivalence · mko_vector_ops, numeric_evaluation, neg_mul — 逐分量重算（N10、N11）；兩邊是同一個向量。
• S07.2 · premise_audit · add_inverse, add_assoc, add_comm, add_zero — 只用到實數加法的群性質，對任何 u、v 都成立。
• S07.1 · premise_audit · cartesian_product_def, eq_congruence, add_inverse — 這是引理的「⇒」方向，反向另在 S07.2 證明；兩邊同加同一個數總是可行。
• S07 · inverse_equivalence · L_solve_vec — 引理兩向在 S07.1、S07.2 證明；代回核對見 N8、N9。
• S06 · premise_audit · cartesian_product_def, S03, S04 — 一個分量不同就足以推出不等；最後一句的一般說法不在此證明，只是說明，判定只依本例的分量。
• S05.2 · inverse_equivalence · distributive, neg_mul, add_comm, cartesian_product_def — 所用的是對所有實數成立的恆等式，雙向成立；向量相等需要兩個分量都相等，這裡兩者都成立。
• S05.1 · inverse_equivalence · mko_vector_ops, neg_vec_def — 展開定義是雙向的。
• S05 · premise_audit · L_sub_reverse, S03, S04 — 引理在 S05.1、S05.2 對所有向量證明；本例的數字只是核對。
• S04 · inverse_equivalence · mko_vector_ops, numeric_evaluation — 逐分量重算（N5、N6）。
• S03 · inverse_equivalence · mko_vector_ops, numeric_evaluation — 逐分量重算（N3、N4）；兩邊是同一個分量對。
• S02 · inverse_equivalence · mko_vector_ops, numeric_evaluation — 兩邊是同一個分量對；逐分量重算（N1、N2）。
• S01 · premise_audit · G1, G2, G3, mko_vector_ops — 此步只寫出定義與資料，不推出新事實；若基底不固定，同一組分量可能代表不同向量。

錯誤控制與反例

分量有位置，減法有方向

MKO 指出的誤解之一是把向量座標當成可交換。(3,−1) 與 (−1,3) 不同（S13）；u−v=(5,−5) 與 v−u=(−5,5) 互為相反向量（S05、S06）。從 u 到 v 要加的是 v−u（S07），寫成 u−v 會得到相反方向。

相等要逐分量，不看長度或分量和

MKO 的第二個誤解是以為向量相等只需長度相同。u 與 w 的平方和都是 10，但 3≠1，所以 u≠w（S12）；u 與 (1,1) 的分量和都是 2，也不相等（S13）。相等的唯一判準是兩個對應分量都相等。

純量乘法不是內積

MKO 的第三個誤解是把純量乘法當成內積。ku=(−6,2) 是 ℝ² 的向量（S08），不是一個數；把 ku 的分量加起來得到 −4 已經離開本條目的運算。內積是另一種運算，本條目不定義也不使用它。

• u−v=v−u，因為兩者都是 u 與 v 的差 → reject — u−v=(5,−5)，v−u=(−5,5)，第一分量 5≠−5。
• u=w，因為 u₁²+u₂²=w₁²+w₂²=10 → reject — 相等需逐分量相同；第一分量 3≠1。
• (3,−1)=(−1,3)，因為兩者用了相同的兩個數 → reject — 有序對逐位置比較；3≠−1。
• ku 是一個數：(−2)·3+(−2)·(−1)=−4 → reject — ku=(−6,2) 是向量；把分量相加不是純量乘法的一部分。

結論與限制

在固定標準基底下：u+v=(1,3)，u−v=(5,−5)，v−u=(−5,5)=−(u−v)，所以 u−v≠v−u；ku=(−6,2)，0u=(0,0)，2u+v=(4,2)；滿足 u+x=v 的唯一向量是 x=v−u=(−5,5)；k(u+v)=ku+kv=(−2,−6)。u≠w（雖然平方和都是 10），u≠(−1,3)（分量交換位置）。

• N7 與 N18 是各變數次數至多為一的多項式恆等式格點核對，對應 S05.2 與 S11.1 的代數論證；論證本身不依賴它們。
• 本稿不涉及長度、角度、內積或基底變換（MKO 第三段明示另有義務）。

驗證及來源綁定

20 個本稿宣告算術檢查；只支持所列算式。

• source commit: b28a5edbd46279b1db2a3f3f48bb3f447e18899f
• adopted source SHA-256: bc749cb55fd9feab11176f4265e52ebf388cff1d90049efe15d0c6b29999d5c1
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• Lean: NOT_RUN · independent AI: NOT_MEASURED

同源完整 JSON（含公式、AST、反控制與修訂記錄）