歐幾里得長度

數學敘述

在歐幾里得平面中，若 P=(x₁,y₁)、Q=(x₂,y₂)，則兩點距離定義為座標差平方和的正平方根。

代表公式（精確 TeX）

d(P,Q)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

成立條件

• P 與 Q 是二維歐幾里得平面中的點。
• 座標 x₁、y₁、x₂、y₂ 為實數。
• 平方根取非負主值，因此距離必為非負。

符號作用域

• d — 距離函數
• P — 第一個平面點
• Q — 第二個平面點
• x₁,y₁ — P 的座標
• x₂,y₂ — Q 的座標

直觀、定義與常見誤解

距離公式把水平位移與垂直位移視為互相垂直的兩個分量，再取平方和的正平方根。

當 P 與 Q 相同時，兩個座標差皆為零，因此距離為零；交換 P 與 Q 不會改變距離。

程式可用 hypot 或平方根計算具體距離，但浮點表示與數學中的實數並不完全相同。

忽略平方根的非負主值，或將座標差直接相加而沒有先平方。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

驗證界線

具體座標測試只驗證參考實作，不等於證明距離函數對所有實數點滿足全部度量公理。

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下一個義務

對接 Mathlib 的 EuclideanSpace 與 dist 定義，並記錄二維座標公式與抽象距離之間的定理。

同源結構化資料

本頁與互動版共用同一個物件與既有語言 edition；未新增證明或人工審定。