線性規劃對偶

數學敘述

先核A為m×n exact rational matrix、b∈R^m、c∈R^n，dual variable y∈R^m且A^Ty≥c。對feasible x,y逐項驗c^Tx≤y^TAx≤b^Ty。若兩方feasible且objectives相等，zero gap即同時給primal與dual optimality certificate。缺任一方feasibility時objective equality不證optimality；有限grid不證一般strong duality，infeasible或unbounded cases也不得套用。一般有限維LP strong duality保留為明示定理，非本輪enumeration結果。

代表公式（精確 TeX）

g(x,y)=b^\top*y-c^\top*x

成立條件

• 沿用唯一maximize/≤/nonnegative primal convention。
• matrix、vectors與candidate points皆為bounded exact rationals。

符號作用域

• g — 固定問題資料下的逐點對偶間隙函數
• A — 限制矩陣
• b — primal 右端向量
• c — primal 目標向量
• x — primal 候選點
• y — dual 候選點

直觀、定義與常見誤解

從固定primal完整構造dual。

weak duality chain逐項exact核對。

zero-gap certificate與strong-duality一般定理分層。

記號對齊候選：固定問題資料 (A,b,c)，g(x,y)=b^T y−c^T x 是依候選點 x,y 變動的純量間隙；A 留在周圍可行性陳述。對 maximize／≤／nonnegative 慣例，須 x>=0、Ax<=b、y>=0、A^Ty>=c 才能使用弱對偶的非負間隙證書；單純目標相等或有限 grid 不證一般 strong duality。

混用另一套dual符號，或只因兩個objective數字相等就宣稱optimal。

已採用的推導導讀

原始 MKO 保留；導讀有自己的追加式修訂與驗證界線，不代表新 Lean 證明。

前置知識

• 線性規劃標準形 — 固定primal convention。
• 最佳化問題 — feasible與optimal語義。
• 實數大小與順序 — componentwise inequalities。

驗證界線

有限候選點或grid搜尋不能證一般strong duality；不處理infeasible/unbounded對偶分類。

not_formalized

這不表示內容錯誤；只表示尚未登錄可重播的計算或形式證據。

下一個義務

加入complementary slackness與LP optimality conditions。

同源結構化資料

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