第 3145 題：兩方向條件機率的數值比較

原題與已知條件

明示非空 S={7, 8, 9, 10}、事件族 F=𝒫(S)，依 S 順序的非負權重為 [1/31, 4/31, 6/31, 20/31]，總和恰為一。A={8, 10}，B={7, 8, 9, 10} 且 P(A)、P(B)>0。P(A|B) 與 P(B|A) 是否相等？

• G001 — 明示非空 S={7, 8, 9, 10}、事件族 F=𝒫(S)，依 S 順序的非負權重為 [1/31, 4/31, 6/31, 20/31]，總和恰為一。A={8, 10}，B={7, 8, 9, 10} 且 P(A)、P(B)>0。P(A|B) 與 P(B|A) 是否相等？

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-conditional-probability

逐步推導

S={7, 8, 9, 10};A={8, 10};B={7, 8, 9, 10};F=𝒫(S)

events are declared subsets;conditioning needs P(B)>0

A={8, 10};B={7, 8, 9, 10}

A∩B={8, 10}

total weight numerator := sum(1, 4, 6, 20)

total weight numerator = 31

[[7, 1], [8, 4], [9, 6], [10, 20]]

weights sum to 31;normalization verified

B weight numerator := sum(1, 4, 6, 20)

B weight numerator = 31

B probability mass := div(31, 31)

B probability mass = 1

A∩B weight numerator := sum(4, 20)

A∩B weight numerator = 24

A∩B probability mass := div(24, 31)

A∩B probability mass = 24/31

P(A|B) := div(24/31, 1)

P(A|B) = 24/31

P(A∩B)=24/31;P(B)=1>0

P(A|B)=24/31

A weight numerator := sum(4, 20)

A weight numerator = 24

A probability mass := div(24, 31)

A probability mass = 24/31

P(B|A) := div(24/31, 24/31)

P(B|A) = 1

P(A|B)=24/31;P(B|A)=1

equal=否

逐步反向核對

• S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(B|A)，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 A probability mass，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 A weight numerator，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 P(A|B)，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 A∩B probability mass，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 A∩B weight numerator，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 B probability mass，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 B weight numerator，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 total weight numerator，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

否

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。