S001 · implies
操作前
raw A=[0, 1, 2];raw B=[0, 1, 2, 100, 101]
操作後
A=[0, 1, 2];B=[0, 1, 2, 100, 101]
條件：無
整數集合先去重及數值排序；重列或列序不改元素隸屬，原來源清單仍保存。
步驟識別與依賴
規則：finite_set_extensionality · 依賴：G001
第 4500 題：有限集合聯交的基數對
R0007-04500 · q-20261008-advance-20261010-r02-set-operations-0025
原題與已知條件
有限整數集合 A=[0, 1, 2]、B=[0, 1, 2, 100, 101]。依序求 (|A∪B|, |A∩B|)，重列元素只算一次。
G001— 有限整數集合 A=[0, 1, 2]、B=[0, 1, 2, 100, 101]。依序求 (|A∪B|, |A∩B|)，重列元素只算一次。
定義與適用範圍
沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
逐步推導
S002 · implies
操作前
element=0
操作後
in A=是;in B=是
條件：無
逐元素保留兩側隸屬，集合運算由這兩個布林值決定，不重複計數。
步驟識別與依賴
規則：finite_set_membership_row · 依賴：G001, S001
S003 · implies
操作前
element=1
操作後
in A=是;in B=是
條件：無
逐元素保留兩側隸屬，集合運算由這兩個布林值決定，不重複計數。
步驟識別與依賴
規則：finite_set_membership_row · 依賴：G001, S002
S004 · implies
操作前
element=2
操作後
in A=是;in B=是
條件：無
逐元素保留兩側隸屬，集合運算由這兩個布林值決定，不重複計數。
步驟識別與依賴
規則：finite_set_membership_row · 依賴：G001, S003
S005 · implies
操作前
element=100
操作後
in A=否;in B=是
條件：無
逐元素保留兩側隸屬，集合運算由這兩個布林值決定，不重複計數。
步驟識別與依賴
規則：finite_set_membership_row · 依賴：G001, S004
S006 · implies
操作前
element=101
操作後
in A=否;in B=是
條件：無
逐元素保留兩側隸屬，集合運算由這兩個布林值決定，不重複計數。
步驟識別與依賴
規則：finite_set_membership_row · 依賴：G001, S005
S007 · calculation
操作前
separate set cardinalities sum := sum(3, 5)
操作後
separate set cardinalities sum = 8
條件：無
兩側基數相加會把交集重複一次。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006
S008 · calculation
操作前
union cardinality check := sub(8, 3)
操作後
union cardinality check = 5
條件：無
減去一次交集，與去重聯集列長比較。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007
S009 · implies
操作前
union=[0, 1, 2, 100, 101];intersection=[0, 1, 2]
操作後
(5, 3)
條件：無
第一欄聯集數、第二欄交集數；空集合基數0，交集成員在聯集只計一次。
步驟識別與依賴
規則：union_intersection_cardinality · 依賴：G001, S008
逐步反向核對
S009· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S008· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 union cardinality check，不以小數近似替代。S007· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 separate set cardinalities sum，不以小數近似替代。S006· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S005· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S004· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S003· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S002· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
結論
(5, 3)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
本題覆核與來源綁定
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
來源雜湊與覆核憑證
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: be493093a7f939bd360b0227117e8a21dd219c638db11974be2943c677e3baefcandidate record SHA-256: f69efbc827ec8a599e71d654958ce14cec2f1db619116087b1e25f3e3df03553semantic review receipt SHA-256: faf0582c0184613e6fae207374056133eae600883a29c67d8438113bbe3c485aquestion-first witness SHA-256: 4b283b6ff424b1d22caa36f3552b0fa21b1b66a0a883d7cbe9cedc8dd77b2e42Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED