R0059-30074 · q-20261008-advance-20261010-r04-conditional-probability-0049
有限歸一化模型；S={0,…,2}，F=𝒫(S)，質量=[23, 1, 2]、D=26，權重為質量/D；B=[0, 2]，P(B)>0，A=[0, 1]。另有P(A)>0。依序求 (P(A|B), P(B|A))，不要交換分母。
G001 — 有限歸一化模型；S={0,…,2}，F=𝒫(S)，質量=[23, 1, 2]、D=26，權重為質量/D；B=[0, 2]，P(B)>0，A=[0, 1]。另有P(A)>0。依序求 (P(A|B), P(B|A))，不要交換分母。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source roles = [qf-density10-conditional-directions-pair, density10_conditional_directions_pair, finite_normalized_probability]
操作後
derived = [[P_A_given_B, P_B_given_A]]
條件：無
保原bank的完整operation前綴、domain及輸出欄序；frame只用orthogonal_equal_unit，角度unit只用degrees。分數整數保/1；不增不存在的參數，不改原中英來源。
規則：R59_EXACT_family_domain_FULLprefix_operation_and_answer_roles · 依賴：G001
操作前
Conditional ORIGINAL ALL numerator weights sum := sum(23, 1, 2)
操作後
Conditional ORIGINAL ALL numerator weights sum = 26
條件：無
按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001
操作前
source roles = [[23, 1, 2], 26]
操作後
derived = [3, [[0, 23/26], [1, 1/26], [2, 1/13]], 26]
條件：無
S=Fin(n)，完整冪集上的每個singleton質量m_i/D，m_i非負且全部和D>0。此四族已要求真law，無效law直接拒絕，不回No後重配權重。
規則：Conditional_FULL_normalized_finite_law_not_candidate_repair · 依賴：G001, S002
操作前
source roles = [B, [0, 2], 3]
操作後
derived = [[0, 2]]
條件：無
原list先驗長度<=16且每項為Fin(n)合法SAFE index，再去重數值排序。重複listing不倍加mass；raw17份重複仍超來源界。
規則：Conditional_RAW_event_bound_BEFORE_dedup_and_Fin_index_typing · 依賴：G001, S003
操作前
Conditional B ORIGINAL included index0 running0 := sum(0, 23)
操作後
Conditional B ORIGINAL included index0 running0 = 23
條件：無
按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
操作前
Conditional B ORIGINAL included index2 running1 := sum(23, 2)
操作後
Conditional B ORIGINAL included index2 running1 = 25
條件：無
按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005
操作前
source roles = [Conditional B, [0, 2], [23, 1, 2]]
操作後
derived = [25]
條件：無
依規範化事件每個index恰取原slot一次；沒有index時空和為0，不私加均勻權重或換配對。
規則：Conditional_COMPLETE_subset_mass_in_ORIGINAL_slots · 依賴：G001, S006
操作前
Conditional ORIGINAL B mass over D := div(25, 26)
操作後
Conditional ORIGINAL B mass over D = 25/26
條件：無
按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007
操作前
source roles = [[0, 2], [23, 1, 2], 26]
操作後
derived = [25, 25/26, 是]
條件：無
P(B)>0等價b>0，不等於B非空；含有零權重label的非空事件仍可能不可條件化。只在已給正mass下除b。
規則：Conditional_STRICT_positive_B_mass_not_merely_nonempty · 依賴：G001, S008
操作前
source roles = [A, [0, 1], 3]
操作後
derived = [[0, 1]]
條件：無
原list先驗長度<=16且每項為Fin(n)合法SAFE index，再去重數值排序。重複listing不倍加mass；raw17份重複仍超來源界。
規則：Conditional_RAW_event_bound_BEFORE_dedup_and_Fin_index_typing · 依賴：G001, S009
操作前
Conditional intersection ORIGINAL included index0 running0 := sum(0, 23)
操作後
Conditional intersection ORIGINAL included index0 running0 = 23
條件：無
按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010
操作前
source roles = [Conditional intersection, [0], [23, 1, 2]]
操作後
derived = [23]
條件：無
依規範化事件每個index恰取原slot一次；沒有index時空和為0，不私加均勻權重或換配對。
規則：Conditional_COMPLETE_subset_mass_in_ORIGINAL_slots · 依賴：G001, S011
操作前
Conditional ORIGINAL intersection mass over D := div(23, 26)
操作後
Conditional ORIGINAL intersection mass over D = 23/26
條件：無
按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012
操作前
Conditional ORIGINAL intersection over B mass := div(23, 25)
操作後
Conditional ORIGINAL intersection over B mass = 23/25
條件：無
按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013
操作前
Conditional reverse probability ratio SAME law := div(23/26, 25/26)
操作後
Conditional reverse probability ratio SAME law = 23/25
條件：無
按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014
操作前
source roles = [23, 25, 26, 23/26, 25/26]
操作後
derived = [23/25, 23/25]
條件：無
P(A|B)=P(A交B)/P(B)=(i/D)/(b/D)=i/b，同一law的D才可消去。不假設independence，也不由一個數值巧合推一般獨立。
規則：Conditional_RATIO_cancel_SAME_positive_D_and_B · 依賴：G001, S015
操作前
Conditional A ORIGINAL included index0 running0 := sum(0, 23)
操作後
Conditional A ORIGINAL included index0 running0 = 23
條件：無
按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016
操作前
Conditional A ORIGINAL included index1 running1 := sum(23, 1)
操作後
Conditional A ORIGINAL included index1 running1 = 24
條件：無
按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S017
操作前
source roles = [Conditional A, [0, 1], [23, 1, 2]]
操作後
derived = [24]
條件：無
依規範化事件每個index恰取原slot一次；沒有index時空和為0，不私加均勻權重或換配對。
規則：Conditional_COMPLETE_subset_mass_in_ORIGINAL_slots · 依賴：G001, S018
操作前
Conditional ORIGINAL intersection over A mass := div(23, 24)
操作後
Conditional ORIGINAL intersection over A mass = 23/24
條件：無
按原角色精確代值，不作浮點近似；SAFE只驗raw輸入，衍生整數／有理數不截斷，不套其他銀行的component cap。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S019
操作前
source roles = [[0, 1], [0, 2], [0], 24, 25, 23]
操作後
derived = [23/25, 23/24]
條件：無
反向也須P(A)>0，分母改a；共同分子不表示兩方向相同。兩個正mass事件可不交，得到兩個0/1仍合法。
規則：Conditional_TWO_directions_DIFFERENT_positive_denominators · 依賴：G001, S020
S021 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Conditional ORIGINAL intersection over A mass，不以小數近似替代。S019 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Conditional A ORIGINAL included index1 running1，不以小數近似替代。S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Conditional A ORIGINAL included index0 running0，不以小數近似替代。S016 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Conditional reverse probability ratio SAME law，不以小數近似替代。S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Conditional ORIGINAL intersection over B mass，不以小數近似替代。S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Conditional ORIGINAL intersection mass over D，不以小數近似替代。S012 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Conditional intersection ORIGINAL included index0 running0，不以小數近似替代。S010 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。S009 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Conditional ORIGINAL B mass over D，不以小數近似替代。S007 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Conditional B ORIGINAL included index2 running1，不以小數近似替代。S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Conditional B ORIGINAL included index0 running0，不以小數近似替代。S004 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。S003 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Conditional ORIGINAL ALL numerator weights sum，不以小數近似替代。S001 · premise_and_result_audit — 以原始資料、索引與前提反向代回本步，不聲稱可由結論唯一還原輸入。有限精確核對、獨立審查、形式證明及發布資格分開。(23/25, 23/24)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: c41a855238d59504dabfb25725cfe74a1723d65e5571080969a0c5b756474ce4candidate record SHA-256: 0425166bec27e23bf0fc9c74df90f692217693d945b22c939f3044f24c425f36semantic review receipt SHA-256: 4c93dea3956f58509e20b3b8bbbf716dbc340b424a2a5177bc04aba9e8ea9ec5question-first witness SHA-256: a5e56e0d64d622d7202840cef7019839c5a99244c602694190779155207dafdfLean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED