R0060-30914 · q-20261011-advance-20261015-r06-permutation-combination-0014
相異標記物件無放回，有序與無序分開。n=14、k=3，model=distinct_without_replacement。求 (P(n,k), C(n,k), k!, k=0空選資格)。
G001 — 相異標記物件無放回，有序與無序分開。n=14、k=3，model=distinct_without_replacement。求 (P(n,k), C(n,k), k!, k=0空選資格)。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source roles = [qf-density15-selection-order-factor-triple, density15_selection_order_factor_triple, finite_distinct_selection_protocol]
操作後
derived = [[ordered_count, unordered_count, ordering_factor, empty_selection]]
條件：無
density14/15用full-prefix underscores，density17用local hyphens。coordinate frame與circle frame不同，輸出欄序／型別依本family，不改原中英／JSON／status。
規則：R60_EXACT_perbank_operation_domain_FRAME_and_output_roles · 依賴：G001
操作前
Selection original full ordered ORIGINAL available-choice factor0 := mul(1, 14)
操作後
Selection original full ordered ORIGINAL available-choice factor0 = 14
條件：無
保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001
操作前
Selection original full ordered ORIGINAL available-choice factor1 := mul(14, 13)
操作後
Selection original full ordered ORIGINAL available-choice factor1 = 182
條件：無
保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
操作前
Selection original full ordered ORIGINAL available-choice factor2 := mul(182, 12)
操作後
Selection original full ordered ORIGINAL available-choice factor2 = 2184
條件：無
保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003
操作前
source roles = [Selection original full ordered, 14, 3]
操作後
derived = [[14, 13, 12], 2184]
條件：無
第j位置有n-j個未用相異標記物件，完整乘k個choices；k0只有一個空ordered tuple。這不是可重複或環形／不可區分模型。
規則：Selection_ORDERED_distinct_without_replacement_available_choices · 依賴：G001, S004
操作前
Selection original unordered ordered ORIGINAL available-choice factor0 := mul(1, 14)
操作後
Selection original unordered ordered ORIGINAL available-choice factor0 = 14
條件：無
保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005
操作前
Selection original unordered ordered ORIGINAL available-choice factor1 := mul(14, 13)
操作後
Selection original unordered ordered ORIGINAL available-choice factor1 = 182
條件：無
保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006
操作前
Selection original unordered ordered ORIGINAL available-choice factor2 := mul(182, 12)
操作後
Selection original unordered ordered ORIGINAL available-choice factor2 = 2184
條件：無
保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007
操作前
source roles = [Selection original unordered ordered, 14, 3]
操作後
derived = [[14, 13, 12], 2184]
條件：無
第j位置有n-j個未用相異標記物件，完整乘k個choices；k0只有一個空ordered tuple。這不是可重複或環形／不可區分模型。
規則：Selection_ORDERED_distinct_without_replacement_available_choices · 依賴：G001, S008
操作前
Selection original unordered within-subset ORIGINAL factorial factor2 := mul(1, 2)
操作後
Selection original unordered within-subset ORIGINAL factorial factor2 = 2
條件：無
保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009
操作前
Selection original unordered within-subset ORIGINAL factorial factor3 := mul(2, 3)
操作後
Selection original unordered within-subset ORIGINAL factorial factor3 = 6
條件：無
保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010
操作前
source roles = [Selection original unordered within-subset, 3]
操作後
derived = [6]
條件：無
完整乘2..n，n0或1是空積1；精確BigInt不作浮點、也不把衍生count截SAFE。
規則：Selection_factorial_COMPLETE_integer_product_EMPTY0factorial1 · 依賴：G001, S011
操作前
Selection original unordered ORIGINAL exact ordered over k factorial := div(2184, 6)
操作後
Selection original unordered ORIGINAL exact ordered over k factorial = 364
條件：無
保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012
操作前
Selection original unordered reverse unordered times k factorial := mul(364, 6)
操作後
Selection original unordered reverse unordered times k factorial = 2184
條件：無
保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013
操作前
source roles = [Selection original unordered, 14, 3, 2184, 6]
操作後
derived = [364, 2184]
條件：無
每個k-subset有恰k!個orderings，所以P/k!整除為C；反乘回P驗證。空subset與空ordering各一種，不自行改成概率模型。
規則：Selection_UNORDERED_each_subset_has_kfactorial_orderings · 依賴：G001, S014
操作前
Selection original ordering factor ORIGINAL factorial factor2 := mul(1, 2)
操作後
Selection original ordering factor ORIGINAL factorial factor2 = 2
條件：無
保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S015
操作前
Selection original ordering factor ORIGINAL factorial factor3 := mul(2, 3)
操作後
Selection original ordering factor ORIGINAL factorial factor3 = 6
條件：無
保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016
操作前
source roles = [Selection original ordering factor, 3]
操作後
derived = [6]
條件：無
完整乘2..n，n0或1是空積1；精確BigInt不作浮點、也不把衍生count截SAFE。
規則：Selection_factorial_COMPLETE_integer_product_EMPTY0factorial1 · 依賴：G001, S017
S018 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection original ordering factor ORIGINAL factorial factor3，不以小數近似替代。S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection original ordering factor ORIGINAL factorial factor2，不以小數近似替代。S015 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection original unordered reverse unordered times k factorial，不以小數近似替代。S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection original unordered ORIGINAL exact ordered over k factorial，不以小數近似替代。S012 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection original unordered within-subset ORIGINAL factorial factor3，不以小數近似替代。S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection original unordered within-subset ORIGINAL factorial factor2，不以小數近似替代。S009 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection original unordered ordered ORIGINAL available-choice factor2，不以小數近似替代。S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection original unordered ordered ORIGINAL available-choice factor1，不以小數近似替代。S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection original unordered ordered ORIGINAL available-choice factor0，不以小數近似替代。S005 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection original full ordered ORIGINAL available-choice factor2，不以小數近似替代。S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection original full ordered ORIGINAL available-choice factor1，不以小數近似替代。S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection original full ordered ORIGINAL available-choice factor0，不以小數近似替代。S001 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。(2184, 364, 6, 否)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 5185c93289627f4d7bf9fb6609298203d52423cf2a42bd126baaceb51ac9e0e7candidate record SHA-256: 98d85f5c36767bc427a3ae87e1fc3e0351295d67fa77d1314bce80ef9bc73d1fsemantic review receipt SHA-256: d6b5a409bf933281a46617cd715d8016fd5ca3d6fb76f77d179ac2ecd9d608bfquestion-first witness SHA-256: f80ecf598c6893a580af018e1a82849b33ee6887efb48a6a1d69569aa17f12e4Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED