R0060-30872 · q-20261011-advance-20261015-r06-permutation-combination-0097
相異標記物件無放回，有序與無序分開。n=22、k=3、r=1、model=distinct_without_replacement，前r個位置固定原序標記=[0]。求 (剩餘物件數, 剩餘位置數, 完成數, 全有序數, 完成數/全數)。
G001 — 相異標記物件無放回，有序與無序分開。n=22、k=3、r=1、model=distinct_without_replacement，前r個位置固定原序標記=[0]。求 (剩餘物件數, 剩餘位置數, 完成數, 全有序數, 完成數/全數)。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source roles = [qf-density15-selection-forced-initial-order, density15_selection_forced_initial_order, finite_distinct_selection_protocol]
操作後
derived = [[remaining_objects, remaining_positions, completions, full_ordered_count, COUNT_ratio]]
條件：無
density14/15用full-prefix underscores，density17用local hyphens。coordinate frame與circle frame不同，輸出欄序／型別依本family，不改原中英／JSON／status。
規則：R60_EXACT_perbank_operation_domain_FRAME_and_output_roles · 依賴：G001
操作前
Selection prefix ORIGINAL n minus used r := sub(22, 1)
操作後
Selection prefix ORIGINAL n minus used r = 21
條件：無
保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001
操作前
Selection prefix ORIGINAL k minus filled r := sub(3, 1)
操作後
Selection prefix ORIGINAL k minus filled r = 2
條件：無
保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
操作前
Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor0 := mul(1, 21)
操作後
Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor0 = 21
條件：無
保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003
操作前
Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor1 := mul(21, 20)
操作後
Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor1 = 420
條件：無
保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
操作前
source roles = [Selection prefix remaining ordered, 21, 2]
操作後
derived = [[21, 20], 420]
條件：無
第j位置有n-j個未用相異標記物件，完整乘k個choices；k0只有一個空ordered tuple。這不是可重複或環形／不可區分模型。
規則：Selection_ORDERED_distinct_without_replacement_available_choices · 依賴：G001, S005
操作前
Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor0 := mul(1, 22)
操作後
Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor0 = 22
條件：無
保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006
操作前
Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor1 := mul(22, 21)
操作後
Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor1 = 462
條件：無
保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007
操作前
Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor2 := mul(462, 20)
操作後
Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor2 = 9240
條件：無
保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008
操作前
source roles = [Selection full ordered, 22, 3]
操作後
derived = [[22, 21, 20], 9240]
條件：無
第j位置有n-j個未用相異標記物件，完整乘k個choices；k0只有一個空ordered tuple。這不是可重複或環形／不可區分模型。
規則：Selection_ORDERED_distinct_without_replacement_available_choices · 依賴：G001, S009
操作前
Selection ORIGINAL completion COUNT ratio := div(420, 9240)
操作後
Selection ORIGINAL completion COUNT ratio = 1/22
條件：無
保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010
操作前
source roles = [22, 3, 1, [0]]
操作後
derived = [21, 2, 420, 9240, 1/22]
條件：無
前r位置固定用0..r-1且次序已給，先扣已用物件／已填位置。r0不減count，r=k只一個completion；最後是count比，沒有uniform law不可自行叫概率。
規則：Selection_FIXED_prefix_labels_and_COUNT_ratio_NOT_probability · 依賴：G001, S011
S012 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection ORIGINAL completion COUNT ratio，不以小數近似替代。S010 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor2，不以小數近似替代。S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor1，不以小數近似替代。S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection full ordered ORIGINAL available-choice factor0，不以小數近似替代。S006 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor1，不以小數近似替代。S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection prefix remaining ordered ORIGINAL available-choice factor0，不以小數近似替代。S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection prefix ORIGINAL k minus filled r，不以小數近似替代。S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Selection prefix ORIGINAL n minus used r，不以小數近似替代。S001 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。(21, 2, 420, 9240, 1/22)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 417f9c41bc5c4ddae5c89c0b8971749b25a5306ccd4380b71909fbf2237a28d4candidate record SHA-256: c8418446fba005722ec1ffbc0c3a860900186853197671ca90bf49f0823907a4semantic review receipt SHA-256: d6b5a409bf933281a46617cd715d8016fd5ca3d6fb76f77d179ac2ecd9d608bfquestion-first witness SHA-256: f80ecf598c6893a580af018e1a82849b33ee6887efb48a6a1d69569aa17f12e4Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED