R0014-07553 · q-20261012-advance-20261016-r03-linear-transformation-0003
R²到R²列向量，明示2×2矩陣模型。M=[[-10, 1], [2, -1]]、v=[1, -1]。依序求 (第一列向量M*e1, 第二列向量M*e2, Mv, v1*column1+v2*column2)。
G001 — R²到R²列向量，明示2×2矩陣模型。M=[[-10, 1], [2, -1]]、v=[1, -1]。依序求 (第一列向量M*e1, 第二列向量M*e2, Mv, v1*column1+v2*column2)。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
M=[[-10, 1], [2, -1]];v=[1, -1]
操作後
declared R2 matrix model;finite values are not a test of an arbitrary function
條件：無
明示矩陣模型Mv在全R²上由分配律給出線性映射；本題列出的有限代值不是對任意函數的線性證明。零映射也線性，不要求非零或可逆。
規則：declared_linear_model_scope · 依賴：G001
操作前
Mv[0] term0 := mul(-10, 1)
操作後
Mv[0] term0 = -10
條件：無
用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001
操作前
Mv[0] term1 := mul(1, -1)
操作後
Mv[0] term1 = -1
條件：無
用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
操作前
Mv[0] row sum := sum(-10, -1)
操作後
Mv[0] row sum = -11
條件：無
把已對齊的同一分量或同一位置相加，不跨分量配對。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003
操作前
Mv[1] term0 := mul(2, 1)
操作後
Mv[1] term0 = 2
條件：無
用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
操作前
Mv[1] term1 := mul(-1, -1)
操作後
Mv[1] term1 = 1
條件：無
用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005
操作前
Mv[1] row sum := sum(2, 1)
操作後
Mv[1] row sum = 3
條件：無
把已對齊的同一分量或同一位置相加，不跨分量配對。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006
操作前
M=[[-10, 1], [2, -1]];e1=[1, 0];e2=[0, 1]
操作後
M e1=[-10, 2];M e2=[1, -1]
條件：無
第一個標準基底向量選第一個直欄，第二個選第二個直欄；不要把橫列誤作基底像。
規則：basis_images_are_columns · 依賴：G001, S007
操作前
v0 column1[0] := mul(1, -10)
操作後
v0 column1[0] = -10
條件：無
用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008
操作前
v0 column1[1] := mul(1, 2)
操作後
v0 column1[1] = 2
條件：無
用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009
操作前
v1 column2[0] := mul(-1, 1)
操作後
v1 column2[0] = -1
條件：無
用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010
操作前
v1 column2[1] := mul(-1, -1)
操作後
v1 column2[1] = 1
條件：無
用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011
操作前
basis reconstruction[0] := sum(-10, -1)
操作後
basis reconstruction[0] = -11
條件：無
把已對齊的同一分量或同一位置相加，不跨分量配對。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012
操作前
basis reconstruction[1] := sum(2, 1)
操作後
basis reconstruction[1] = 3
條件：無
把已對齊的同一分量或同一位置相加，不跨分量配對。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013
操作前
v=[1, -1];Mv=[-11, 3]
操作後
column reconstruction=[-11, 3]
條件：無
先由橫列點乘列向量算Mv，再用基底像的線性組合重建，兩條路不共用候選答案。
規則：basis_reconstruction_audit · 依賴：G001, S014
S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 basis reconstruction[1]，不以小數近似替代。S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 basis reconstruction[0]，不以小數近似替代。S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v1 column2[1]，不以小數近似替代。S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v1 column2[0]，不以小數近似替代。S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v0 column1[1]，不以小數近似替代。S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v0 column1[0]，不以小數近似替代。S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv[1] row sum，不以小數近似替代。S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv[1] term1，不以小數近似替代。S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv[1] term0，不以小數近似替代。S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv[0] row sum，不以小數近似替代。S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv[0] term1，不以小數近似替代。S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv[0] term0，不以小數近似替代。S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。([-10, 2], [1, -1], [-11, 3], [-11, 3])
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 456ead4d50097ef61f3a6c4a399cb46653095aecc2e8a66dacb003f81ddc84cecandidate record SHA-256: 3e95f4da510521ae26a813b3d8cbc7c46eb46f68c8178ea44afae12d7f21c46dsemantic review receipt SHA-256: 23ba8196e85a09c03add0a87f96bec5d67a00dc648d1d68eef89101525b41a77question-first witness SHA-256: 17d59afc327b7cb8b6e588686d6dc1abbccd384d8ba32b8c046652f96821d705Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED