第 7559 題：基底像與列向量重建

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原題與已知條件
定義與適用範圍
逐步推導
逐步反向核對
結論
本題覆核與來源綁定

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R0014-07559 · q-20261012-advance-20261016-r03-linear-transformation-0009

原題與已知條件

R²到R²列向量，明示2×2矩陣模型。M=[[-4, 1], [2, -1]]、v=[1, -1]。依序求 (第一列向量M*e1, 第二列向量M*e2, Mv, v1*column1+v2*column2)。

G001 — R²到R²列向量，明示2×2矩陣模型。M=[[-4, 1], [2, -1]]、v=[1, -1]。依序求 (第一列向量M*e1, 第二列向量M*e2, Mv, v1*column1+v2*column2)。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

mko-linear-transformation

逐步推導

S001 · implies

操作前

M=[[-4, 1], [2, -1]];v=[1, -1]

操作後

declared R2 matrix model;finite values are not a test of an arbitrary function

條件：無

明示矩陣模型Mv在全R²上由分配律給出線性映射；本題列出的有限代值不是對任意函數的線性證明。零映射也線性，不要求非零或可逆。

步驟識別與依賴

規則：declared_linear_model_scope · 依賴：G001

S002 · calculation

操作前

Mv[0] term0 := mul(-4, 1)

操作後

Mv[0] term0 = -4

條件：無

用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001

S003 · calculation

操作前

Mv[0] term1 := mul(1, -1)

操作後

Mv[0] term1 = -1

條件：無

用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002

S004 · calculation

操作前

Mv[0] row sum := sum(-4, -1)

操作後

Mv[0] row sum = -5

條件：無

把已對齊的同一分量或同一位置相加，不跨分量配對。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003

S005 · calculation

操作前

Mv[1] term0 := mul(2, 1)

操作後

Mv[1] term0 = 2

條件：無

用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004

S006 · calculation

操作前

Mv[1] term1 := mul(-1, -1)

操作後

Mv[1] term1 = 1

條件：無

用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005

S007 · calculation

操作前

Mv[1] row sum := sum(2, 1)

操作後

Mv[1] row sum = 3

條件：無

把已對齊的同一分量或同一位置相加，不跨分量配對。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

M=[[-4, 1], [2, -1]];e1=[1, 0];e2=[0, 1]

操作後

M e1=[-4, 2];M e2=[1, -1]

條件：無

第一個標準基底向量選第一個直欄，第二個選第二個直欄；不要把橫列誤作基底像。

步驟識別與依賴

規則：basis_images_are_columns · 依賴：G001, S007

S009 · calculation

操作前

v0 column1[0] := mul(1, -4)

操作後

v0 column1[0] = -4

條件：無

用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008

S010 · calculation

操作前

v0 column1[1] := mul(1, 2)

操作後

v0 column1[1] = 2

條件：無

用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009

S011 · calculation

操作前

v1 column2[0] := mul(-1, 1)

操作後

v1 column2[0] = -1

條件：無

用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010

S012 · calculation

操作前

v1 column2[1] := mul(-1, -1)

操作後

v1 column2[1] = 1

條件：無

用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011

S013 · calculation

操作前

basis reconstruction[0] := sum(-4, -1)

操作後

basis reconstruction[0] = -5

條件：無

把已對齊的同一分量或同一位置相加，不跨分量配對。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012

S014 · calculation

操作前

basis reconstruction[1] := sum(2, 1)

操作後

basis reconstruction[1] = 3

條件：無

把已對齊的同一分量或同一位置相加，不跨分量配對。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

v=[1, -1];Mv=[-5, 3]

操作後

column reconstruction=[-5, 3]

條件：無

先由橫列點乘列向量算Mv，再用基底像的線性組合重建，兩條路不共用候選答案。

步驟識別與依賴

規則：basis_reconstruction_audit · 依賴：G001, S014

逐步反向核對

S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 basis reconstruction[1]，不以小數近似替代。
S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 basis reconstruction[0]，不以小數近似替代。
S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v1 column2[1]，不以小數近似替代。
S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v1 column2[0]，不以小數近似替代。
S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v0 column1[1]，不以小數近似替代。
S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v0 column1[0]，不以小數近似替代。
S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv[1] row sum，不以小數近似替代。
S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv[1] term1，不以小數近似替代。
S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv[1] term0，不以小數近似替代。
S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv[0] row sum，不以小數近似替代。
S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv[0] term1，不以小數近似替代。
S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv[0] term0，不以小數近似替代。
S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([-4, 2], [1, -1], [-5, 3], [-5, 3])

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證

input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
original question SHA-256: f9b3c61340438d8de81b1e4c5b1a39d4a7c786a5bbb4689ff23c689d5570bf24
candidate record SHA-256: aa9895374808dbc85cf2ba67eb313e3044c69b4f350540586b490f1d74ae6022
semantic review receipt SHA-256: 23ba8196e85a09c03add0a87f96bec5d67a00dc648d1d68eef89101525b41a77
question-first witness SHA-256: 17d59afc327b7cb8b6e588686d6dc1abbccd384d8ba32b8c046652f96821d705
Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

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