第 7574 題：基底像與列向量重建

原題與已知條件

R²到R²列向量，明示2×2矩陣模型。M=[[11, 1], [2, -1]]、v=[1, -1]。依序求 (第一列向量M*e1, 第二列向量M*e2, Mv, v1*column1+v2*column2)。

• G001 — R²到R²列向量，明示2×2矩陣模型。M=[[11, 1], [2, -1]]、v=[1, -1]。依序求 (第一列向量M*e1, 第二列向量M*e2, Mv, v1*column1+v2*column2)。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-linear-transformation

逐步推導

M=[[11, 1], [2, -1]];v=[1, -1]

declared R2 matrix model;finite values are not a test of an arbitrary function

Mv[0] term0 := mul(11, 1)

Mv[0] term0 = 11

Mv[0] term1 := mul(1, -1)

Mv[0] term1 = -1

Mv[0] row sum := sum(11, -1)

Mv[0] row sum = 10

Mv[1] term0 := mul(2, 1)

Mv[1] term0 = 2

Mv[1] term1 := mul(-1, -1)

Mv[1] term1 = 1

Mv[1] row sum := sum(2, 1)

Mv[1] row sum = 3

M=[[11, 1], [2, -1]];e1=[1, 0];e2=[0, 1]

M e1=[11, 2];M e2=[1, -1]

v0 column1[0] := mul(1, 11)

v0 column1[0] = 11

v0 column1[1] := mul(1, 2)

v0 column1[1] = 2

v1 column2[0] := mul(-1, 1)

v1 column2[0] = -1

v1 column2[1] := mul(-1, -1)

v1 column2[1] = 1

basis reconstruction[0] := sum(11, -1)

basis reconstruction[0] = 10

basis reconstruction[1] := sum(2, 1)

basis reconstruction[1] = 3

v=[1, -1];Mv=[10, 3]

column reconstruction=[10, 3]

逐步反向核對

• S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 basis reconstruction[1]，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 basis reconstruction[0]，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v1 column2[1]，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v1 column2[0]，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v0 column1[1]，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 v0 column1[0]，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv[1] row sum，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv[1] term1，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv[1] term0，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv[0] row sum，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv[0] term1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv[0] term0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([11, 2], [1, -1], [10, 3], [10, 3])

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。