第 7510 題：矩陣映射的加法兩側值

原題與已知條件

R²到R²列向量，明示2×2矩陣模型。M=[[-3, 1], [0, 2]]、u=[1, 0]、v=[0, 1]。求 (Mu, Mv, M(u+v), Mu+Mv, 後兩側之差)。

• G001 — R²到R²列向量，明示2×2矩陣模型。M=[[-3, 1], [0, 2]]、u=[1, 0]、v=[0, 1]。求 (Mu, Mv, M(u+v), Mu+Mv, 後兩側之差)。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-linear-transformation

逐步推導

M=[[-3, 1], [0, 2]];v=[0, 1]

declared R2 matrix model;finite values are not a test of an arbitrary function

Mv[0] term0 := mul(-3, 0)

Mv[0] term0 = 0

Mv[0] term1 := mul(1, 1)

Mv[0] term1 = 1

Mv[0] row sum := sum(0, 1)

Mv[0] row sum = 1

Mv[1] term0 := mul(0, 0)

Mv[1] term0 = 0

Mv[1] term1 := mul(2, 1)

Mv[1] term1 = 2

Mv[1] row sum := sum(0, 2)

Mv[1] row sum = 2

Mu[0] term0 := mul(-3, 1)

Mu[0] term0 = -3

Mu[0] term1 := mul(1, 0)

Mu[0] term1 = 0

Mu[0] row sum := sum(-3, 0)

Mu[0] row sum = -3

Mu[1] term0 := mul(0, 1)

Mu[1] term0 = 0

Mu[1] term1 := mul(2, 0)

Mu[1] term1 = 0

Mu[1] row sum := sum(0, 0)

Mu[1] row sum = 0

u+v[0] := sum(1, 0)

u+v[0] = 1

u+v[1] := sum(0, 1)

u+v[1] = 1

M(u+v)[0] term0 := mul(-3, 1)

M(u+v)[0] term0 = -3

M(u+v)[0] term1 := mul(1, 1)

M(u+v)[0] term1 = 1

M(u+v)[0] row sum := sum(-3, 1)

M(u+v)[0] row sum = -2

M(u+v)[1] term0 := mul(0, 1)

M(u+v)[1] term0 = 0

M(u+v)[1] term1 := mul(2, 1)

M(u+v)[1] term1 = 2

M(u+v)[1] row sum := sum(0, 2)

M(u+v)[1] row sum = 2

Mu+Mv[0] := sum(-3, 1)

Mu+Mv[0] = -2

Mu+Mv[1] := sum(0, 2)

Mu+Mv[1] = 2

linear additivity residual[0] := sub(-2, -2)

linear additivity residual[0] = 0

linear additivity residual[1] := sub(2, 2)

linear additivity residual[1] = 0

u=[1, 0];v=[0, 1]

left=[-2, 2];right=[-2, 2];residual=[0, 0]

逐步反向核對

• S026 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 linear additivity residual[1]，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 linear additivity residual[0]，不以小數近似替代。
• S023 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mu+Mv[1]，不以小數近似替代。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mu+Mv[0]，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M(u+v)[1] row sum，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M(u+v)[1] term1，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M(u+v)[1] term0，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M(u+v)[0] row sum，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M(u+v)[0] term1，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M(u+v)[0] term0，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u+v[1]，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 u+v[0]，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mu[1] row sum，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mu[1] term1，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mu[1] term0，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mu[0] row sum，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mu[0] term1，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mu[0] term0，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv[1] row sum，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv[1] term1，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv[1] term0，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv[0] row sum，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv[0] term1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv[0] term0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([-3, 0], [1, 2], [-2, 2], [-2, 2], [0, 0])

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。