第 7585 題：矩陣映射的純量兩側值

原題與已知條件

R²到R²列向量，明示2×2矩陣模型。M=[[1, 0], [0, 2]]、v=[-3, 1]、c=-1。求 (Mv, M(cv), cMv, 後兩側之差)。

• G001 — R²到R²列向量，明示2×2矩陣模型。M=[[1, 0], [0, 2]]、v=[-3, 1]、c=-1。求 (Mv, M(cv), cMv, 後兩側之差)。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-linear-transformation

逐步推導

M=[[1, 0], [0, 2]];v=[-3, 1]

declared R2 matrix model;finite values are not a test of an arbitrary function

Mv[0] term0 := mul(1, -3)

Mv[0] term0 = -3

Mv[0] term1 := mul(0, 1)

Mv[0] term1 = 0

Mv[0] row sum := sum(-3, 0)

Mv[0] row sum = -3

Mv[1] term0 := mul(0, -3)

Mv[1] term0 = 0

Mv[1] term1 := mul(2, 1)

Mv[1] term1 = 2

Mv[1] row sum := sum(0, 2)

Mv[1] row sum = 2

cv[0] := mul(-1, -3)

cv[0] = 3

cv[1] := mul(-1, 1)

cv[1] = -1

M(cv)[0] term0 := mul(1, 3)

M(cv)[0] term0 = 3

M(cv)[0] term1 := mul(0, -1)

M(cv)[0] term1 = 0

M(cv)[0] row sum := sum(3, 0)

M(cv)[0] row sum = 3

M(cv)[1] term0 := mul(0, 3)

M(cv)[1] term0 = 0

M(cv)[1] term1 := mul(2, -1)

M(cv)[1] term1 = -2

M(cv)[1] row sum := sum(0, -2)

M(cv)[1] row sum = -2

cMv[0] := mul(-1, -3)

cMv[0] = 3

cMv[1] := mul(-1, 2)

cMv[1] = -2

linear scalar residual[0] := sub(3, 3)

linear scalar residual[0] = 0

linear scalar residual[1] := sub(-2, -2)

linear scalar residual[1] = 0

c=-1;v=[-3, 1]

left=[3, -2];right=[3, -2];residual=[0, 0]

逐步反向核對

• S020 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 linear scalar residual[1]，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 linear scalar residual[0]，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 cMv[1]，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 cMv[0]，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M(cv)[1] row sum，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M(cv)[1] term1，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M(cv)[1] term0，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M(cv)[0] row sum，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M(cv)[0] term1，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 M(cv)[0] term0，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 cv[1]，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 cv[0]，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv[1] row sum，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv[1] term1，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv[1] term0，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv[0] row sum，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv[0] term1，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv[0] term0，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([-3, 2], [3, -2], [3, -2], [0, 0])

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。