S001 · implies
操作前
M=[[1, 0], [0, 2]];v=[5, 1]
操作後
declared R2 matrix model;finite values are not a test of an arbitrary function
條件：無
明示矩陣模型Mv在全R²上由分配律給出線性映射；本題列出的有限代值不是對任意函數的線性證明。零映射也線性，不要求非零或可逆。
步驟識別與依賴
規則：declared_linear_model_scope · 依賴：G001
第 7543 題：仿射模型的零點阻擋
R0014-07543 · q-20261012-advance-20261016-r03-linear-transformation-0093
原題與已知條件
R²到R²列向量，明示2×2矩陣模型。宣告全R²的F(v)=Mv+b，M=[[1, 0], [0, 2]]、v=[5, 1]、b=[1, 0]。求 (Mv, Mv+b, F(0)=b, 此明示仿射模型為線性資格)。
G001— R²到R²列向量，明示2×2矩陣模型。宣告全R²的F(v)=Mv+b，M=[[1, 0], [0, 2]]、v=[5, 1]、b=[1, 0]。求 (Mv, Mv+b, F(0)=b, 此明示仿射模型為線性資格)。
定義與適用範圍
沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
逐步推導
S002 · calculation
操作前
Mv[0] term0 := mul(1, 5)
操作後
Mv[0] term0 = 5
條件：無
用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001
S003 · calculation
操作前
Mv[0] term1 := mul(0, 1)
操作後
Mv[0] term1 = 0
條件：無
用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
S004 · calculation
操作前
Mv[0] row sum := sum(5, 0)
操作後
Mv[0] row sum = 5
條件：無
把已對齊的同一分量或同一位置相加，不跨分量配對。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003
S005 · calculation
操作前
Mv[1] term0 := mul(0, 5)
操作後
Mv[1] term0 = 0
條件：無
用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
S006 · calculation
操作前
Mv[1] term1 := mul(2, 1)
操作後
Mv[1] term1 = 2
條件：無
用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005
S007 · calculation
操作前
Mv[1] row sum := sum(0, 2)
操作後
Mv[1] row sum = 2
條件：無
把已對齊的同一分量或同一位置相加，不跨分量配對。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006
S008 · calculation
操作前
Mv+b[0] := sum(5, 1)
操作後
Mv+b[0] = 6
條件：無
把已對齊的同一分量或同一位置相加，不跨分量配對。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007
S009 · calculation
操作前
Mv+b[1] := sum(2, 0)
操作後
Mv+b[1] = 2
條件：無
把已對齊的同一分量或同一位置相加，不跨分量配對。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008
S010 · implies
操作前
F(x)=Mx+b;M=[[1, 0], [0, 2]];b=[1, 0]
操作後
F(0)=[1, 0];linear model qualified=否
條件：無
必要性：線性映射必有F(0)=0，因此b必為0。充分性：b=0時回到已宣告的矩陣模型Mx，由分配律同時滿足加法與純量相容；不是只驗零點就證明任意函數線性。
步驟識別與依賴
規則：affine_zero_obstruction_and_sufficiency · 依賴：G001, S009
逐步反向核對
S010· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S009· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv+b[1]，不以小數近似替代。S008· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv+b[0]，不以小數近似替代。S007· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv[1] row sum，不以小數近似替代。S006· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv[1] term1，不以小數近似替代。S005· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv[1] term0，不以小數近似替代。S004· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv[0] row sum，不以小數近似替代。S003· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv[0] term1，不以小數近似替代。S002· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Mv[0] term0，不以小數近似替代。S001· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
結論
([5, 2], [6, 2], [1, 0], 否)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
本題覆核與來源綁定
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
來源雜湊與覆核憑證
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 06ec1954bb84c240790d272d70e370b8c52fb2f5e175808872410840cdf0f83fcandidate record SHA-256: f0a9c2df8d5362eb00907761dd9b60094cc5be00ce8a1462eb50e77395a929edsemantic review receipt SHA-256: 23ba8196e85a09c03add0a87f96bec5d67a00dc648d1d68eef89101525b41a77question-first witness SHA-256: 17d59afc327b7cb8b6e588686d6dc1abbccd384d8ba32b8c046652f96821d705Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED