S001 · implies
操作前
rows=[[1, 0, 12], [0, 1, 0]]
操作後
each row [a,b,c] means a*x+b*y=c over R
條件：無
兩式須同時成立，右側常數不是第三個未知數。退化零係數列也保留，不能先假設行列式非零。
步驟識別與依賴
規則：two_equations_real_system_scope · 依賴：G001
第 7825 題：候選同時滿足兩式的殘差
R0014-07825 · q-20261012-advance-20261016-r05-system-linear-equations-0025
原題與已知條件
R上兩元兩式；rows每列[a,b,c]代表a*x+b*y=c。rows=[[1, 0, 12], [0, 1, 0]]，有序候選(x,y)=[(0)/(1), (0)/(1)]。求 (兩列a*x+b*y−c的有理殘差, 兩列同時零資格)。
G001— R上兩元兩式；rows每列[a,b,c]代表a*x+b*y=c。rows=[[1, 0, 12], [0, 1, 0]]，有序候選(x,y)=[(0)/(1), (0)/(1)]。求 (兩列a*x+b*y−c的有理殘差, 兩列同時零資格)。
定義與適用範圍
沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
逐步推導
S002 · implies
操作前
raw rational pairs=[[0, 1], [0, 1]]
操作後
candidate=[0/1, 0/1]
條件：無
兩個原候選分母都須非零，負分母合法但先規約符號與公因子，不拿唯一解覆寫候選。
步驟識別與依賴
規則：candidate_rational_denominator_guard · 依賴：G001, S001
S003 · calculation
操作前
candidate row0 ax := mul(1, 0)
操作後
candidate row0 ax = 0
條件：無
用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
S004 · calculation
操作前
candidate row0 by := mul(0, 0)
操作後
candidate row0 by = 0
條件：無
用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003
S005 · calculation
操作前
candidate row0 lhs := sum(0, 0)
操作後
candidate row0 lhs = 0
條件：無
把已對齊的同一分量或同一位置相加，不跨分量配對。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
S006 · calculation
操作前
candidate row0 residual := sub(0, 12)
操作後
candidate row0 residual = -12
條件：無
按題目指定的前項減後項，保留殘差的正負。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005
S007 · calculation
操作前
candidate row1 ax := mul(0, 0)
操作後
candidate row1 ax = 0
條件：無
用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006
S008 · calculation
操作前
candidate row1 by := mul(1, 0)
操作後
candidate row1 by = 0
條件：無
用本位置明示的純量與分量相乘，不改成內積或逐項矩陣乘法。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007
S009 · calculation
操作前
candidate row1 lhs := sum(0, 0)
操作後
candidate row1 lhs = 0
條件：無
把已對齊的同一分量或同一位置相加，不跨分量配對。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008
S010 · calculation
操作前
candidate row1 residual := sub(0, 0)
操作後
candidate row1 residual = 0
條件：無
按題目指定的前項減後項，保留殘差的正負。
步驟識別與依賴
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S009
S011 · implies
操作前
residuals=[-12/1, 0/1]
操作後
simultaneous solution=否
條件：無
兩個有理殘差必須同時為0；只通過一式，或把兩個相反殘差相加成0，都不夠。
步驟識別與依賴
規則：system_candidate_both_rows · 依賴：G001, S010
逐步反向核對
S011· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S010· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate row1 residual，不以小數近似替代。S009· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate row1 lhs，不以小數近似替代。S008· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate row1 by，不以小數近似替代。S007· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate row1 ax，不以小數近似替代。S006· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate row0 residual，不以小數近似替代。S005· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate row0 lhs，不以小數近似替代。S004· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate row0 by，不以小數近似替代。S003· premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 candidate row0 ax，不以小數近似替代。S002· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。S001· premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
結論
([-12/1, 0/1], 否)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
本題覆核與來源綁定
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
來源雜湊與覆核憑證
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 17fc6f41e8ac068ca986520514ce53f1eb700273b543687a3e86630a79e5a1e4candidate record SHA-256: 68763f1995217a3e098033d32bf4a49ca7b7c3a5902fd5da9955dc96b8d2f15dsemantic review receipt SHA-256: 23ba8196e85a09c03add0a87f96bec5d67a00dc648d1d68eef89101525b41a77question-first witness SHA-256: 17d59afc327b7cb8b6e588686d6dc1abbccd384d8ba32b8c046652f96821d705Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED