第 7850 題：兩列秩與完整解分類

原題與已知條件

R上兩元兩式；rows每列[a,b,c]代表a*x+b*y=c。rows=[[1, 1, 12], [0, 1, 2]]。求 (有號D, 係數秩, 增廣秩, 無解/唯一解/無限多解, 唯一時有序有理解[x,y]或不適用/不唯一)。

• G001 — R上兩元兩式；rows每列[a,b,c]代表a*x+b*y=c。rows=[[1, 1, 12], [0, 1, 2]]。求 (有號D, 係數秩, 增廣秩, 無解/唯一解/無限多解, 唯一時有序有理解[x,y]或不適用/不唯一)。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-system-linear-equations

逐步推導

rows=[[1, 1, 12], [0, 1, 2]]

each row [a,b,c] means a*x+b*y=c over R

before ae := mul(1, 1)

before ae = 1

before bd := mul(1, 0)

before bd = 0

before D := sub(1, 0)

before D = 1

before af := mul(1, 2)

before af = 2

before cd := mul(12, 0)

before cd = 0

before minor_x_rhs := sub(2, 0)

before minor_x_rhs = 2

before bf := mul(1, 2)

before bf = 2

before ce := mul(12, 1)

before ce = 12

before minor_y_rhs := sub(2, 12)

before minor_y_rhs = -10

phase=before;rows=[[1, 1, 12], [0, 1, 2]];2x2 minors=[1, 2, -10]

rankA=2;rankAb=2

before x numerator := sub(0, -10)

before x numerator = 10

before x solution := div(10, 1)

before x solution = 10

before y solution := div(2, 1)

before y solution = 2

before solution row0 ax := mul(1, 10)

before solution row0 ax = 10

before solution row0 by := mul(1, 2)

before solution row0 by = 2

before solution row0 lhs := sum(10, 2)

before solution row0 lhs = 12

before solution row0 residual := sub(12, 12)

before solution row0 residual = 0

before solution row1 ax := mul(0, 10)

before solution row1 ax = 0

before solution row1 by := mul(1, 2)

before solution row1 by = 2

before solution row1 lhs := sum(0, 2)

before solution row1 lhs = 2

before solution row1 residual := sub(2, 2)

before solution row1 residual = 0

phase=before;D=1;D*x=10;D*y=2

solution=[10/1, 2/1];row residuals=[0, 0]

phase=before;rankA=2;rankAb=2;unknowns=2

class=唯一解;solution/status=[10/1, 2/1]

逐步反向核對

• S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before solution row1 residual，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before solution row1 lhs，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before solution row1 by，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before solution row1 ax，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before solution row0 residual，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before solution row0 lhs，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before solution row0 by，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before solution row0 ax，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before y solution，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before x solution，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before x numerator，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before minor_y_rhs，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before ce，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before bf，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before minor_x_rhs，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before cd，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before af，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before D，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before bd，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before ae，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(1, 2, 2, 唯一解, [10/1, 2/1])

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。