第 7867 題：加倍第一列的消去操作

原題與已知條件

R上兩元兩式；rows每列[a,b,c]代表a*x+b*y=c。rows=[[1, 0, 4], [0, 1, 2]]、t=0。只把row2改row2+t*row1。求 (新rows, 前分類列[D,rankA,rankAb,class,solution或marker], 後分類列, 可逆列操作資格)。

• G001 — R上兩元兩式；rows每列[a,b,c]代表a*x+b*y=c。rows=[[1, 0, 4], [0, 1, 2]]、t=0。只把row2改row2+t*row1。求 (新rows, 前分類列[D,rankA,rankAb,class,solution或marker], 後分類列, 可逆列操作資格)。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-system-linear-equations

逐步推導

rows=[[1, 0, 4], [0, 1, 2]]

each row [a,b,c] means a*x+b*y=c over R

before ae := mul(1, 1)

before ae = 1

before bd := mul(0, 0)

before bd = 0

before D := sub(1, 0)

before D = 1

before af := mul(1, 2)

before af = 2

before cd := mul(4, 0)

before cd = 0

before minor_x_rhs := sub(2, 0)

before minor_x_rhs = 2

before bf := mul(0, 2)

before bf = 0

before ce := mul(4, 1)

before ce = 4

before minor_y_rhs := sub(0, 4)

before minor_y_rhs = -4

phase=before;rows=[[1, 0, 4], [0, 1, 2]];2x2 minors=[1, 2, -4]

rankA=2;rankAb=2

before x numerator := sub(0, -4)

before x numerator = 4

before x solution := div(4, 1)

before x solution = 4

before y solution := div(2, 1)

before y solution = 2

before solution row0 ax := mul(1, 4)

before solution row0 ax = 4

before solution row0 by := mul(0, 2)

before solution row0 by = 0

before solution row0 lhs := sum(4, 0)

before solution row0 lhs = 4

before solution row0 residual := sub(4, 4)

before solution row0 residual = 0

before solution row1 ax := mul(0, 4)

before solution row1 ax = 0

before solution row1 by := mul(1, 2)

before solution row1 by = 2

before solution row1 lhs := sum(0, 2)

before solution row1 lhs = 2

before solution row1 residual := sub(2, 2)

before solution row1 residual = 0

phase=before;D=1;D*x=4;D*y=2

solution=[4/1, 2/1];row residuals=[0, 0]

phase=before;rankA=2;rankAb=2;unknowns=2

class=唯一解;solution/status=[4/1, 2/1]

t row1[0] := mul(0, 1)

t row1[0] = 0

t row1[1] := mul(0, 0)

t row1[1] = 0

t row1[2] := mul(0, 4)

t row1[2] = 0

row2+t row1[0] := sum(0, 0)

row2+t row1[0] = 0

row2+t row1[1] := sum(1, 0)

row2+t row1[1] = 1

row2+t row1[2] := sum(2, 0)

row2+t row1[2] = 2

operation=system-eliminate-row;t=0;old rows=[[1, 0, 4], [0, 1, 2]]

new rows=[[1, 0, 4], [0, 1, 2]];invertible=是;inverse=row2 -> row2-(0)*row1

after ae := mul(1, 1)

after ae = 1

after bd := mul(0, 0)

after bd = 0

after D := sub(1, 0)

after D = 1

after af := mul(1, 2)

after af = 2

after cd := mul(4, 0)

after cd = 0

after minor_x_rhs := sub(2, 0)

after minor_x_rhs = 2

after bf := mul(0, 2)

after bf = 0

after ce := mul(4, 1)

after ce = 4

after minor_y_rhs := sub(0, 4)

after minor_y_rhs = -4

phase=after;rows=[[1, 0, 4], [0, 1, 2]];2x2 minors=[1, 2, -4]

rankA=2;rankAb=2

after x numerator := sub(0, -4)

after x numerator = 4

after x solution := div(4, 1)

after x solution = 4

after y solution := div(2, 1)

after y solution = 2

after solution row0 ax := mul(1, 4)

after solution row0 ax = 4

after solution row0 by := mul(0, 2)

after solution row0 by = 0

after solution row0 lhs := sum(4, 0)

after solution row0 lhs = 4

after solution row0 residual := sub(4, 4)

after solution row0 residual = 0

after solution row1 ax := mul(0, 4)

after solution row1 ax = 0

after solution row1 by := mul(1, 2)

after solution row1 by = 2

after solution row1 lhs := sum(0, 2)

after solution row1 lhs = 2

after solution row1 residual := sub(2, 2)

after solution row1 residual = 0

phase=after;D=1;D*x=4;D*y=2

solution=[4/1, 2/1];row residuals=[0, 0]

phase=after;rankA=2;rankAb=2;unknowns=2

class=唯一解;solution/status=[4/1, 2/1]

逐步反向核對

• S054 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S053 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S052 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after solution row1 residual，不以小數近似替代。
• S051 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after solution row1 lhs，不以小數近似替代。
• S050 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after solution row1 by，不以小數近似替代。
• S049 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after solution row1 ax，不以小數近似替代。
• S048 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after solution row0 residual，不以小數近似替代。
• S047 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after solution row0 lhs，不以小數近似替代。
• S046 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after solution row0 by，不以小數近似替代。
• S045 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after solution row0 ax，不以小數近似替代。
• S044 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after y solution，不以小數近似替代。
• S043 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after x solution，不以小數近似替代。
• S042 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after x numerator，不以小數近似替代。
• S041 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S040 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after minor_y_rhs，不以小數近似替代。
• S039 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after ce，不以小數近似替代。
• S038 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after bf，不以小數近似替代。
• S037 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after minor_x_rhs，不以小數近似替代。
• S036 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after cd，不以小數近似替代。
• S035 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after af，不以小數近似替代。
• S034 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after D，不以小數近似替代。
• S033 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after bd，不以小數近似替代。
• S032 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 after ae，不以小數近似替代。
• S031 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S030 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 row2+t row1[2]，不以小數近似替代。
• S029 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 row2+t row1[1]，不以小數近似替代。
• S028 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 row2+t row1[0]，不以小數近似替代。
• S027 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 t row1[2]，不以小數近似替代。
• S026 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 t row1[1]，不以小數近似替代。
• S025 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 t row1[0]，不以小數近似替代。
• S024 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S023 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S022 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before solution row1 residual，不以小數近似替代。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before solution row1 lhs，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before solution row1 by，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before solution row1 ax，不以小數近似替代。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before solution row0 residual，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before solution row0 lhs，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before solution row0 by，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before solution row0 ax，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before y solution，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before x solution，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before x numerator，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S010 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before minor_y_rhs，不以小數近似替代。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before ce，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before bf，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before minor_x_rhs，不以小數近似替代。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before cd，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before af，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before D，不以小數近似替代。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before bd，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 before ae，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([[1, 0, 4], [0, 1, 2]], [1, 2, 2, 唯一解, [4/1, 2/1]], [1, 2, 2, 唯一解, [4/1, 2/1]], 是)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。