第 30962 題：交換兩個目標標籤

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原題與已知條件
定義與適用範圍
逐步推導
逐步反向核對
結論
本題覆核與來源綁定

R0060-30962 · q-20261012-advance-20261017-r01-bijective-0062

原題與已知條件

Fin型別從0起，完整總表。Fin(5)=[0, 1, 2, 3, 4]→Fin(3)=[0, 1, 2]；總函數f依輸入索引列images=[2, 2, 0, 0, 0]。交換目標標籤a=0與b=2，其他目標不變。答 (原images, 交換後images, 新全目標纖維, 原雙射資格, 新雙射資格, 兩資格相同與否)。

G001 — Fin型別從0起，完整總表。Fin(5)=[0, 1, 2, 3, 4]→Fin(3)=[0, 1, 2]；總函數f依輸入索引列images=[2, 2, 0, 0, 0]。交換目標標籤a=0與b=2，其他目標不變。答 (原images, 交換後images, 新全目標纖維, 原雙射資格, 新雙射資格, 兩資格相同與否)。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

mko-bijective

逐步推導

S001 · implies

操作前

source roles = [qf-density17-bij-output-transposition, bij-output-transposition, Fin_total_table]

操作後

derived = [[original_images, next_images, ALL_next_fibers, original_bij, next_bij, flags_agree]]

條件：無

density14/15用full-prefix underscores，density17用local hyphens。coordinate frame與circle frame不同，輸出欄序／型別依本family，不改原中英／JSON／status。

步驟識別與依賴

規則：R60_EXACT_perbank_operation_domain_FRAME_and_output_roles · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

source roles = [Bijection ORIGINAL complete table, 5, 3, [2, 2, 0, 0, 0]]

操作後

derived = [[2, 2, 0, 0, 0]]

條件：無

整條declared table長度須等source大小，全部cell落target Fin(m)，包含unused cell。即使最外source空，也不能略過這個完整table的型別義務。

步驟識別與依賴

規則：Composition_WHOLE_typed_table_ALL_cells_including_unused · 依賴：G001, S001

S003 · calculation

操作前

Bijection ORIGINAL reverse ALL fiber sizes through target0 := sum(0, 3)

操作後

Bijection ORIGINAL reverse ALL fiber sizes through target0 = 3

條件：無

保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

source roles = [Bijection ORIGINAL, [2, 2, 0, 0, 0], 3, 0]

操作後

derived = [[2, 3, 4], 3]

條件：無

對每個declared target列全部原source preimages，含空fiber，不只列出現過的value；indices保持原label與順序。

步驟識別與依賴

規則：Bijection_EVERY_declared_target_COMPLETE_fiber_including_EMPTY · 依賴：G001, S003

S005 · calculation

操作前

Bijection ORIGINAL reverse ALL fiber sizes through target1 := sum(3, 0)

操作後

Bijection ORIGINAL reverse ALL fiber sizes through target1 = 3

條件：無

保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

source roles = [Bijection ORIGINAL, [2, 2, 0, 0, 0], 3, 1]

操作後

derived = [[], 0]

條件：無

對每個declared target列全部原source preimages，含空fiber，不只列出現過的value；indices保持原label與順序。

步驟識別與依賴

規則：Bijection_EVERY_declared_target_COMPLETE_fiber_including_EMPTY · 依賴：G001, S005

S007 · calculation

操作前

Bijection ORIGINAL reverse ALL fiber sizes through target2 := sum(3, 2)

操作後

Bijection ORIGINAL reverse ALL fiber sizes through target2 = 5

條件：無

保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

source roles = [Bijection ORIGINAL, [2, 2, 0, 0, 0], 3, 2]

操作後

derived = [[0, 1], 2]

條件：無

對每個declared target列全部原source preimages，含空fiber，不只列出現過的value；indices保持原label與順序。

步驟識別與依賴

規則：Bijection_EVERY_declared_target_COMPLETE_fiber_including_EMPTY · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

source roles = [Bijection ORIGINAL, [2, 2, 0, 0, 0], 3]

操作後

derived = [[[2, 3, 4], [], [0, 1]], [[0, 1], [2, 3], [2, 4], [3, 4]], [1], 否, 否, 否, 5]

條件：無

每個collision是x<y且同image，完整集合按GLOBAL numeric LEX排序，不用codomain block或stream首重複。無collision才inj、無missing才surj、兩者才bij；empty->empty三真，empty->nonempty僅inj真。

步驟識別與依賴

規則：Bijection_ALL_collisions_GLOBAL_LEX_missing_targets_THREE_distinct_properties · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

source roles = [5, 3, 0, 2, 0, 2]

操作後

derived = [0]

條件：無

把同一codomain label交換用在每個原source輸出，不重排source，也不只改第一個出現。a=b是合法no-op。

步驟識別與依賴

規則：Bijection_OUTPUT_label_transposition_EVERY_original_slot · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

source roles = [5, 3, 0, 2, 1, 2]

操作後

derived = [0]

條件：無

把同一codomain label交換用在每個原source輸出，不重排source，也不只改第一個出現。a=b是合法no-op。

步驟識別與依賴

規則：Bijection_OUTPUT_label_transposition_EVERY_original_slot · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

source roles = [5, 3, 0, 2, 2, 0]

操作後

derived = [2]

條件：無

把同一codomain label交換用在每個原source輸出，不重排source，也不只改第一個出現。a=b是合法no-op。

步驟識別與依賴

規則：Bijection_OUTPUT_label_transposition_EVERY_original_slot · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

source roles = [5, 3, 0, 2, 3, 0]

操作後

derived = [2]

條件：無

把同一codomain label交換用在每個原source輸出，不重排source，也不只改第一個出現。a=b是合法no-op。

步驟識別與依賴

規則：Bijection_OUTPUT_label_transposition_EVERY_original_slot · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

source roles = [5, 3, 0, 2, 4, 0]

操作後

derived = [2]

條件：無

把同一codomain label交換用在每個原source輸出，不重排source，也不只改第一個出現。a=b是合法no-op。

步驟識別與依賴

規則：Bijection_OUTPUT_label_transposition_EVERY_original_slot · 依賴：G001, S013

S015 · calculation

操作前

Bijection TRANSPOSED reverse ALL fiber sizes through target0 := sum(0, 2)

操作後

Bijection TRANSPOSED reverse ALL fiber sizes through target0 = 2

條件：無

保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

source roles = [Bijection TRANSPOSED, [0, 0, 2, 2, 2], 3, 0]

操作後

derived = [[0, 1], 2]

條件：無

對每個declared target列全部原source preimages，含空fiber，不只列出現過的value；indices保持原label與順序。

步驟識別與依賴

規則：Bijection_EVERY_declared_target_COMPLETE_fiber_including_EMPTY · 依賴：G001, S015

S017 · calculation

操作前

Bijection TRANSPOSED reverse ALL fiber sizes through target1 := sum(2, 0)

操作後

Bijection TRANSPOSED reverse ALL fiber sizes through target1 = 2

條件：無

保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

source roles = [Bijection TRANSPOSED, [0, 0, 2, 2, 2], 3, 1]

操作後

derived = [[], 0]

條件：無

對每個declared target列全部原source preimages，含空fiber，不只列出現過的value；indices保持原label與順序。

步驟識別與依賴

規則：Bijection_EVERY_declared_target_COMPLETE_fiber_including_EMPTY · 依賴：G001, S017

S019 · calculation

操作前

Bijection TRANSPOSED reverse ALL fiber sizes through target2 := sum(2, 3)

操作後

Bijection TRANSPOSED reverse ALL fiber sizes through target2 = 5

條件：無

保原操作數做精確整數／有理計算；只有raw輸入驗SAFE或本family明定小界，衍生值不重套界、不作浮點近似。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S018

S020 · implies

操作前

source roles = [Bijection TRANSPOSED, [0, 0, 2, 2, 2], 3, 2]

操作後

derived = [[2, 3, 4], 3]

條件：無

對每個declared target列全部原source preimages，含空fiber，不只列出現過的value；indices保持原label與順序。

步驟識別與依賴

規則：Bijection_EVERY_declared_target_COMPLETE_fiber_including_EMPTY · 依賴：G001, S019

S021 · implies

操作前

source roles = [Bijection TRANSPOSED, [0, 0, 2, 2, 2], 3]

操作後

derived = [[[0, 1], [], [2, 3, 4]], [[0, 1], [2, 3], [2, 4], [3, 4]], [1], 否, 否, 否, 5]

條件：無

步驟識別與依賴

規則：Bijection_ALL_collisions_GLOBAL_LEX_missing_targets_THREE_distinct_properties · 依賴：G001, S020

S022 · implies

操作前

source roles = [5, 3, [2, 2, 0, 0, 0], 0, 2]

操作後

derived = [[0, 0, 2, 2, 2], [[0, 1], [], [2, 3, 4]], 否, 否, 是, [0, 1, 2]]

條件：無

typed codomain transposition兩次還原所有labels，所以保持bij資格；原map可以不是bij。False/False的agreement仍True，不能把preservation旗標當原map本來雙射；m0無合法a,b須拒絕此family。

步驟識別與依賴

規則：Bijection_transposition_is_codomain_PERMUTATION_flags_AGREEMENT · 依賴：G001, S021

逐步反向核對

S022 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
S021 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
S020 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
S019 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Bijection TRANSPOSED reverse ALL fiber sizes through target2，不以小數近似替代。
S018 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Bijection TRANSPOSED reverse ALL fiber sizes through target1，不以小數近似替代。
S016 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Bijection TRANSPOSED reverse ALL fiber sizes through target0，不以小數近似替代。
S014 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
S013 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
S012 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
S011 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
S010 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
S009 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
S008 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Bijection ORIGINAL reverse ALL fiber sizes through target2，不以小數近似替代。
S006 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Bijection ORIGINAL reverse ALL fiber sizes through target1，不以小數近似替代。
S004 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 Bijection ORIGINAL reverse ALL fiber sizes through target0，不以小數近似替代。
S002 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。
S001 · premise_and_result_audit — 用原始資料、型別、索引與本步前提反向代回；一致性審查不等於可由結論唯一還原輸入。有限候選、獨立審查、形式證明與發布分開。

結論

([2, 2, 0, 0, 0], [0, 0, 2, 2, 2], [[0, 1], [], [2, 3, 4]], 否, 否, 是)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證

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original question SHA-256: f8960804326467f7ff688854fcef0b608fb981717abac87b15e14c6584561cfa
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Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED

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