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第 8103 題：非零斜率的精確兩點還原

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0015-08103 · q-20261012-advance-20261017-r02-inverse-function-0078

原題與已知條件

R到R仿射模型，斜率非零。f(x)=a*x+b，a=3、b=-10，有序兩目標y=[(-10)/(3), (3)/(3)]。答 ([g的一次係數, 常數], 兩個原像x, 兩個回代f(x), 兩回代都等於原y資格)。

  • G001 — R到R仿射模型，斜率非零。f(x)=a*x+b，a=3、b=-10，有序兩目標y=[(-10)/(3), (3)/(3)]。答 ([g的一次係數, 常數], 兩個原像x, 兩個回代f(x), 兩回代都等於原y資格)。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

a=3;b=-10;raw ys=[[-10, 3], [3, 3]]

操作後

normalized ys=[-10/3, 1/1];a!=0

條件：無

R到R的明示仿射模型且斜率非零，才可由a*x+b=y反解；負原分母合法並先正規化。反函數不是1/f(x)。

步驟識別與依賴

規則：affine_nonzero_slope_guard · 依賴：G001

S002 · calculation

操作前

inverse slope := div(1, 3)

操作後

inverse slope = 1/3

條件：無

按本步指定順序精確代入原數據，分母非零才允許除法。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001

S003 · calculation

操作前

negative intercept := sub(0, -10)

操作後

negative intercept = 10

條件：無

按本步指定順序精確代入原數據，分母非零才允許除法。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002

S004 · calculation

操作前

inverse intercept := div(10, 3)

操作後

inverse intercept = 10/3

條件：無

按本步指定順序精確代入原數據，分母非零才允許除法。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

g(y)=(y-b)/a;f(x)=a*x+b;a!=0

操作後

g(f(x))=((a*x+b)-b)/a=x;f(g(y))=a*((y-b)/a)+b=y

條件：無

分別化簡兩個方向的恆等式，非零a是消去除法的條件；下面兩點只是代值核對，不是由兩點推出全域。

步驟識別與依賴

規則：affine_both_global_identities · 依賴：G001, S004

S006 · calculation

操作前

query0 y-b := sub(-10/3, -10)

操作後

query0 y-b = 20/3

條件：無

按本步指定順序精確代入原數據，分母非零才允許除法。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005

S007 · calculation

操作前

query0 recovered x := div(20/3, 3)

操作後

query0 recovered x = 20/9

條件：無

按本步指定順序精確代入原數據，分母非零才允許除法。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S006

S008 · calculation

操作前

query0 a*x := mul(3, 20/9)

操作後

query0 a*x = 20/3

條件：無

按本步指定順序精確代入原數據，分母非零才允許除法。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007

S009 · calculation

操作前

query0 f(x) := sum(20/3, -10)

操作後

query0 f(x) = -10/3

條件：無

按本步指定順序精確代入原數據，分母非零才允許除法。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

query0:y=-10/3;x=20/9

操作後

f(x)=-10/3;matches=是

條件：無

把求得原像代回原本的a與b，不用逆函數再次檢查自己；有序兩個查詢分別保留。

步驟識別與依賴

規則：affine_original_map_roundtrip · 依賴：G001, S009

S011 · calculation

操作前

query1 y-b := sub(1, -10)

操作後

query1 y-b = 11

條件：無

按本步指定順序精確代入原數據，分母非零才允許除法。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S010

S012 · calculation

操作前

query1 recovered x := div(11, 3)

操作後

query1 recovered x = 11/3

條件：無

按本步指定順序精確代入原數據，分母非零才允許除法。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S011

S013 · calculation

操作前

query1 a*x := mul(3, 11/3)

操作後

query1 a*x = 11

條件：無

按本步指定順序精確代入原數據，分母非零才允許除法。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S012

S014 · calculation

操作前

query1 f(x) := sum(11, -10)

操作後

query1 f(x) = 1

條件：無

按本步指定順序精確代入原數據，分母非零才允許除法。

步驟識別與依賴

規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

query1:y=1/1;x=11/3

操作後

f(x)=1/1;matches=是

條件：無

把求得原像代回原本的a與b，不用逆函數再次檢查自己；有序兩個查詢分別保留。

步驟識別與依賴

規則：affine_original_map_roundtrip · 依賴：G001, S014

逐步反向核對

  • S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 query1 f(x)，不以小數近似替代。
  • S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 query1 a*x，不以小數近似替代。
  • S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 query1 recovered x，不以小數近似替代。
  • S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 query1 y-b，不以小數近似替代。
  • S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 query0 f(x)，不以小數近似替代。
  • S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 query0 a*x，不以小數近似替代。
  • S007 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 query0 recovered x，不以小數近似替代。
  • S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 query0 y-b，不以小數近似替代。
  • S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S004 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 inverse intercept，不以小數近似替代。
  • S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 negative intercept，不以小數近似替代。
  • S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 inverse slope，不以小數近似替代。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([1/3, 10/3], [20/9, 11/3], [-10/3, 1/1], 是)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: 19888a227d20676f009cf2a026119f92025c4389269a15138dac67baffbf0291
  • candidate record SHA-256: a840e2af04fde1203dc539a403ef557ae2046105337cad17544be52ba2bbacf9
  • semantic review receipt SHA-256: 6ecad9d909199221a07e923f87425e80b3bdec3eed46fe5910d04fca694cae18
  • question-first witness SHA-256: e8f00458977a09493b5f9f05ab9e6feec72debaf4c7d1c609d1fc95900a35a1b
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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