第 8069 題：切換一條邊的有號度差

原題與已知條件

簡單無向圖，Fin頂點從0起。V=Fin(5)=[0, 1, 2, 3, 4]，無向邊列項=[[0, 1], [0, 2], [0, 3], [0, 4]]；各邊兩端皆合法且相異。候選邊=[0, 4]。已存在則移除，未存在則新增。答 (原邊集, 排序候選邊, 新增或移除, 新邊集, 原度數, 新度數, 有號度數差, 度差總和)。

• G001 — 簡單無向圖，Fin頂點從0起。V=Fin(5)=[0, 1, 2, 3, 4]，無向邊列項=[[0, 1], [0, 2], [0, 3], [0, 4]]；各邊兩端皆合法且相異。候選邊=[0, 4]。已存在則移除，未存在則新增。答 (原邊集, 排序候選邊, 新增或移除, 新邊集, 原度數, 新度數, 有號度數差, 度差總和)。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-graph

逐步推導

n=5;raw edges=[[0, 1], [0, 2], [0, 3], [0, 4]]

canonical edges=[[0, 1], [0, 2], [0, 3], [0, 4]]

phase=original;vertex=0;all edges=[[0, 1], [0, 2], [0, 3], [0, 4]]

neighbors=[1, 2, 3, 4];degree=4

phase=original;vertex=1;all edges=[[0, 1], [0, 2], [0, 3], [0, 4]]

neighbors=[0];degree=1

phase=original;vertex=2;all edges=[[0, 1], [0, 2], [0, 3], [0, 4]]

neighbors=[0];degree=1

phase=original;vertex=3;all edges=[[0, 1], [0, 2], [0, 3], [0, 4]]

neighbors=[0];degree=1

phase=original;vertex=4;all edges=[[0, 1], [0, 2], [0, 3], [0, 4]]

neighbors=[0];degree=1

typed candidate=[0, 4];old edges=[[0, 1], [0, 2], [0, 3], [0, 4]]

action=移除;new edges=[[0, 1], [0, 2], [0, 3]]

phase=toggled;vertex=0;all edges=[[0, 1], [0, 2], [0, 3]]

neighbors=[1, 2, 3];degree=3

phase=toggled;vertex=1;all edges=[[0, 1], [0, 2], [0, 3]]

neighbors=[0];degree=1

phase=toggled;vertex=2;all edges=[[0, 1], [0, 2], [0, 3]]

neighbors=[0];degree=1

phase=toggled;vertex=3;all edges=[[0, 1], [0, 2], [0, 3]]

neighbors=[0];degree=1

phase=toggled;vertex=4;all edges=[[0, 1], [0, 2], [0, 3]]

neighbors=[];degree=0

degree delta0 := sub(3, 4)

degree delta0 = -1

degree delta1 := sub(1, 1)

degree delta1 = 0

degree delta2 := sub(1, 1)

degree delta2 = 0

degree delta3 := sub(1, 1)

degree delta3 = 0

degree delta4 := sub(0, 1)

degree delta4 = -1

degree delta sum := sum(-1, 0, 0, 0, -1)

degree delta sum = -2

逐步反向核對

• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 degree delta sum，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 degree delta4，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 degree delta3，不以小數近似替代。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 degree delta2，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 degree delta1，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 degree delta0，不以小數近似替代。
• S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
• S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

([[0, 1], [0, 2], [0, 3], [0, 4]], [0, 4], 移除, [[0, 1], [0, 2], [0, 3]], [4, 1, 1, 1, 1], [3, 1, 1, 1, 0], [-1, 0, 0, 0, -1], -2)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。