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第 8415 題：不存在邊的門檻與定向閉環

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  1. 原題與已知條件
  2. 定義與適用範圍
  3. 逐步推導
  4. 逐步反向核對
  5. 結論
  6. 本題覆核與來源綁定

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R0015-08415 · q-20261012-advance-20261017-r06-tree-0090

原題與已知條件

簡單無向圖，Fin頂點從0起。V=Fin(6)=[0, 1, 2, 3, 4, 5]，無向邊列項=[[0, 1], [0, 4], [0, 5], [1, 2], [1, 3]]；各邊兩端皆合法且相異。候選新增邊=[5, 2]。答 (n, 正規邊集, 原樹資格, 兩端合頂點資格, 端點相異資格, 原邊已存在資格, 合法新非邊資格, 較小的新增邊端點到較大的原道路或不適用, 閉回較小新增邊端點的環或不適用)。不是從環中全域最小頂點起列。

  • G001 — 簡單無向圖，Fin頂點從0起。V=Fin(6)=[0, 1, 2, 3, 4, 5]，無向邊列項=[[0, 1], [0, 4], [0, 5], [1, 2], [1, 3]]；各邊兩端皆合法且相異。候選新增邊=[5, 2]。答 (n, 正規邊集, 原樹資格, 兩端合頂點資格, 端點相異資格, 原邊已存在資格, 合法新非邊資格, 較小的新增邊端點到較大的原道路或不適用, 閉回較小新增邊端點的環或不適用)。不是從環中全域最小頂點起列。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

逐步推導

S001 · implies

操作前

n=6;raw edges=[[0, 1], [0, 4], [0, 5], [1, 2], [1, 3]]

操作後

canonical edges=[[0, 1], [0, 4], [0, 5], [1, 2], [1, 3]]

條件：無

整張簡單無向圖先查端點合型且無自環；邊兩端排序、反向與重複邊只算一次，不以畫法猜相鄰。

步驟識別與依賴

規則：simple_graph_edge_normalization · 依賴：G001

S002 · implies

操作前

phase=original;vertex=0;all edges=[[0, 1], [0, 4], [0, 5], [1, 2], [1, 3]]

操作後

neighbors=[1, 4, 5];degree=3

條件：無

掃描所有正規邊，只有以本頂點為端點的邊才給一個不同鄰居；原頂點標籤保留。

步驟識別與依賴

規則：complete_graph_neighbor_inventory · 依賴：G001, S001

S003 · implies

操作前

phase=original;vertex=1;all edges=[[0, 1], [0, 4], [0, 5], [1, 2], [1, 3]]

操作後

neighbors=[0, 2, 3];degree=3

條件：無

掃描所有正規邊，只有以本頂點為端點的邊才給一個不同鄰居；原頂點標籤保留。

步驟識別與依賴

規則：complete_graph_neighbor_inventory · 依賴：G001, S002

S004 · implies

操作前

phase=original;vertex=2;all edges=[[0, 1], [0, 4], [0, 5], [1, 2], [1, 3]]

操作後

neighbors=[1];degree=1

條件：無

掃描所有正規邊，只有以本頂點為端點的邊才給一個不同鄰居；原頂點標籤保留。

步驟識別與依賴

規則：complete_graph_neighbor_inventory · 依賴：G001, S003

S005 · implies

操作前

phase=original;vertex=3;all edges=[[0, 1], [0, 4], [0, 5], [1, 2], [1, 3]]

操作後

neighbors=[1];degree=1

條件：無

掃描所有正規邊，只有以本頂點為端點的邊才給一個不同鄰居；原頂點標籤保留。

步驟識別與依賴

規則：complete_graph_neighbor_inventory · 依賴：G001, S004

S006 · implies

操作前

phase=original;vertex=4;all edges=[[0, 1], [0, 4], [0, 5], [1, 2], [1, 3]]

操作後

neighbors=[0];degree=1

條件：無

掃描所有正規邊，只有以本頂點為端點的邊才給一個不同鄰居；原頂點標籤保留。

步驟識別與依賴

規則：complete_graph_neighbor_inventory · 依賴：G001, S005

S007 · implies

操作前

phase=original;vertex=5;all edges=[[0, 1], [0, 4], [0, 5], [1, 2], [1, 3]]

操作後

neighbors=[0];degree=1

條件：無

掃描所有正規邊，只有以本頂點為端點的邊才給一個不同鄰居；原頂點標籤保留。

步驟識別與依賴

規則：complete_graph_neighbor_inventory · 依賴：G001, S006

S008 · implies

操作前

phase=original;root=0;depth=0;frontier=[0]

操作後

next newly reached=[1, 4, 5];component seen=[0, 1, 4, 5]

條件：無

只沿正規邊擴展到尚未見的原標籤；前緣清空才完成這個分量，然後再從其他未見頂點開始。

步驟識別與依賴

規則：tree_complete_reachability_layer · 依賴：G001, S007

S009 · implies

操作前

phase=original;root=0;depth=1;frontier=[1, 4, 5]

操作後

next newly reached=[2, 3];component seen=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

條件：無

只沿正規邊擴展到尚未見的原標籤；前緣清空才完成這個分量，然後再從其他未見頂點開始。

步驟識別與依賴

規則：tree_complete_reachability_layer · 依賴：G001, S008

S010 · implies

操作前

phase=original;root=0;depth=2;frontier=[2, 3]

操作後

next newly reached=[];component seen=[0, 1, 2, 3, 4, 5]

條件：無

只沿正規邊擴展到尚未見的原標籤；前緣清空才完成這個分量，然後再從其他未見頂點開始。

步驟識別與依賴

規則：tree_complete_reachability_layer · 依賴：G001, S009

S011 · implies

操作前

phase=original;spanning forest=[[0, 1], [0, 4], [0, 5], [1, 2], [1, 3]];all edges=[[0, 1], [0, 4], [0, 5], [1, 2], [1, 3]]

操作後

nonforest edges=[];cyclic=否

條件：無

逐層首次到達邊形成各分量的樹；其餘邊連接已有樹道路的兩端並產生環。這先建立分量，不是只靠邊數判原圖為樹。

步驟識別與依賴

規則：spanning_forest_cycle_witness · 依賴：G001, S010

S012 · implies

操作前

phase=original;vertices=[0, 1, 2, 3, 4, 5];components=[[0, 1, 2, 3, 4, 5]];cyclic=否

操作後

pairwise reachable=是;nonempty=是;tree=是

條件：無

樹要求非空、單一分量且無環。空頂點集的兩兩可達條件空泛為真，卻不滿足非空；單點無邊是樹，度0不是葉。

步驟識別與依賴

規則：nonempty_connected_acyclic_tree_gate · 依賴：G001, S011

S013 · implies

操作前

original tree=是;edge=[5, 2];typed=[是, 是];distinct=是;already edge=否

操作後

new nonedge qualified=是

條件：無

必須原圖是樹、兩端合型相異、原邊不存在才加邊；現有邊重複列項不產生新環，自環亦不是此模型。

步驟識別與依賴

規則：original_tree_new_nonedge_guard · 依賴：G001, S012

S014 · implies

操作前

phase=new nonedge;prefix=[2];next=1

操作後

edge=[1, 2] present;new prefix=[2, 1]

條件：無

每一步沿一條原邊到未重複頂點；樹中兩點的簡單道路唯一，端點相同則不走任何邊。

步驟識別與依賴

規則：qualified_tree_path_edge · 依賴：G001, S013

S015 · implies

操作前

phase=new nonedge;prefix=[2, 1];next=0

操作後

edge=[0, 1] present;new prefix=[2, 1, 0]

條件：無

每一步沿一條原邊到未重複頂點；樹中兩點的簡單道路唯一，端點相同則不走任何邊。

步驟識別與依賴

規則：qualified_tree_path_edge · 依賴：G001, S014

S016 · implies

操作前

phase=new nonedge;prefix=[2, 1, 0];next=5

操作後

edge=[0, 5] present;new prefix=[2, 1, 0, 5]

條件：無

每一步沿一條原邊到未重複頂點；樹中兩點的簡單道路唯一，端點相同則不走任何邊。

步驟識別與依賴

規則：qualified_tree_path_edge · 依賴：G001, S015

S017 · implies

操作前

phase=new nonedge;start=2;end=5

操作後

unique path=[2, 1, 0, 5]

條件：無

此道路的唯一性依賴前面原樹資格，不對一般含環圖宣稱唯一道路。

步驟識別與依賴

規則：qualified_tree_path_result · 依賴：G001, S016

S018 · implies

操作前

original path=[2, 1, 0, 5];new edge=[2, 5]

操作後

closed cycle=[2, 1, 0, 5, 2]

條件：無

原樹唯一道路由較小新增邊端點起，到較大端點，再沿新邊閉回起點；不另改成環內全域最小頂點起列。

步驟識別與依賴

規則：new_edge_closes_original_unique_path · 依賴：G001, S017

逐步反向核對

  • S018 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S017 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S016 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S015 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S014 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S013 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S012 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S011 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S010 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S009 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S008 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S007 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S006 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S005 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S004 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S003 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S002 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。
  • S001 · premise_and_result_audit — 回到原始資料與本步條件核對，不把單向推論誤稱等價。

結論

(6, [[0, 1], [0, 4], [0, 5], [1, 2], [1, 3]], 是, [是, 是], 是, 否, 是, [2, 1, 0, 5], [2, 1, 0, 5, 2])

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。

來源雜湊與覆核憑證
  • input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50db
  • original question SHA-256: e55668db2b06b6ae563d5b928fb804de153e384c4e3cc1da2ff434b8d7800df0
  • candidate record SHA-256: 7f319391edc751c1edf515e1654a10ebdb43945fd8d8a0d57e0889b7ebc1d422
  • semantic review receipt SHA-256: 6ecad9d909199221a07e923f87425e80b3bdec3eed46fe5910d04fca694cae18
  • question-first witness SHA-256: e8f00458977a09493b5f9f05ab9e6feec72debaf4c7d1c609d1fc95900a35a1b
  • Lean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED
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