R0062-31782 · q-20261013-advance-20261018-r03-gcd-coprime-0007
自然數gcd。操作=gcd-euclid-trace；資料={"a":77,"b":42}。請依 [a,b,euclid_rows,gcd] 的欄序回答。
G001 — 自然數gcd。操作=gcd-euclid-trace；資料={"a":77,"b":42}。請依 [a,b,euclid_rows,gcd] 的欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source roles = [qf-ext18-gcd-euclid-trace, Nat_gcd, gcd-euclid-trace, no-form-field]
操作後
derived = [[a, b, ordered_Euclid_rows, gcd]]
條件：無
按原bank核欄位：BASE方程用form及論域，BASE事件／補集無operation，階乘無domain；ext18用local-hyphen，其他legacy用underscore。輸出型別不統一成tuple或fraction。
規則：R62_EXACT_source_keys_domain_operation_form_AND_output_types · 依賴：G001
操作前
GCD Euclid row0 ORIGINAL quotient times y := mul(1, 42)
操作後
GCD Euclid row0 ORIGINAL quotient times y = 42
條件：無
使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001
操作前
GCD Euclid row0 ORIGINAL x minus qy := sub(77, 42)
操作後
GCD Euclid row0 ORIGINAL x minus qy = 35
條件：無
使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
操作前
source roles = [77, 42, 1]
操作後
derived = [42, 35, [77, 42, 35]]
條件：無
y非0才求商餘，x=qy+r且0≤r<y。d同除x,y則同除y,r，反向由x=qy+r也成立，所以共同因數集合不變；正餘數嚴格下降，循環會終止。
規則：GCD_EUCLID_nonzero_divisor_exact_quotient_remainder_INVARIANT · 依賴：G001, S003
操作前
GCD Euclid row1 ORIGINAL quotient times y := mul(1, 35)
操作後
GCD Euclid row1 ORIGINAL quotient times y = 35
條件：無
使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
操作前
GCD Euclid row1 ORIGINAL x minus qy := sub(42, 35)
操作後
GCD Euclid row1 ORIGINAL x minus qy = 7
條件：無
使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005
操作前
source roles = [42, 35, 1]
操作後
derived = [35, 7, [42, 35, 7]]
條件：無
y非0才求商餘，x=qy+r且0≤r<y。d同除x,y則同除y,r，反向由x=qy+r也成立，所以共同因數集合不變；正餘數嚴格下降，循環會終止。
規則：GCD_EUCLID_nonzero_divisor_exact_quotient_remainder_INVARIANT · 依賴：G001, S006
操作前
GCD Euclid row2 ORIGINAL quotient times y := mul(5, 7)
操作後
GCD Euclid row2 ORIGINAL quotient times y = 35
條件：無
使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007
操作前
GCD Euclid row2 ORIGINAL x minus qy := sub(35, 35)
操作後
GCD Euclid row2 ORIGINAL x minus qy = 0
條件：無
使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008
操作前
source roles = [35, 7, 5]
操作後
derived = [35, 0, [35, 7, 0]]
條件：無
y非0才求商餘，x=qy+r且0≤r<y。d同除x,y則同除y,r，反向由x=qy+r也成立，所以共同因數集合不變；正餘數嚴格下降，循環會終止。
規則：GCD_EUCLID_nonzero_divisor_exact_quotient_remainder_INVARIANT · 依賴：G001, S009
操作前
source roles = [77, 42, [[77, 42, 35], [42, 35, 7], [35, 7, 0]]]
操作後
derived = [7, 0]
條件：無
到第二值0時保留最後x：非零時gcd(x,0)=x，連同上面雙向共同因數不變式得到原gcd。原(0,0)採明示gcd=0慣例，不宣稱0是最大的正因數。
規則：GCD_TERMINAL_last_x_ZEROsecond_and_explicit_gcd00_convention · 依賴：G001, S010
S011 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。S010 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row2 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row2 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。S007 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row1 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row1 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。S004 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row0 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row0 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。S001 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。(77, 42, [[77, 42, 35], [42, 35, 7], [35, 7, 0]], 7)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: 61129c407021d5d887fb7dd55d59642f507d9579c4d53acbd1fe306fd85f33bfcandidate record SHA-256: 97954b163f150c18458b44d1223ca78024178964bbce4282a5ea6b8535430c79semantic review receipt SHA-256: 963099ffc9f754069fdce6792949a85ed350472465eaceb3038fa8011cf672bdquestion-first witness SHA-256: d7655324c5d11528e1af90b757384cebd3313e19dc5f6f5b9b8ea7624fb06f6fLean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED