第 31783 題：最大公因數與互質

原題與已知條件

自然數gcd。操作=gcd-euclid-trace；資料={"a":84,"b":47}。請依 [a,b,euclid_rows,gcd] 的欄序回答。

• G001 — 自然數gcd。操作=gcd-euclid-trace；資料={"a":84,"b":47}。請依 [a,b,euclid_rows,gcd] 的欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-gcd-coprime

逐步推導

source roles = [qf-ext18-gcd-euclid-trace, Nat_gcd, gcd-euclid-trace, no-form-field]

derived = [[a, b, ordered_Euclid_rows, gcd]]

GCD Euclid row0 ORIGINAL quotient times y := mul(1, 47)

GCD Euclid row0 ORIGINAL quotient times y = 47

GCD Euclid row0 ORIGINAL x minus qy := sub(84, 47)

GCD Euclid row0 ORIGINAL x minus qy = 37

source roles = [84, 47, 1]

derived = [47, 37, [84, 47, 37]]

GCD Euclid row1 ORIGINAL quotient times y := mul(1, 37)

GCD Euclid row1 ORIGINAL quotient times y = 37

GCD Euclid row1 ORIGINAL x minus qy := sub(47, 37)

GCD Euclid row1 ORIGINAL x minus qy = 10

source roles = [47, 37, 1]

derived = [37, 10, [47, 37, 10]]

GCD Euclid row2 ORIGINAL quotient times y := mul(3, 10)

GCD Euclid row2 ORIGINAL quotient times y = 30

GCD Euclid row2 ORIGINAL x minus qy := sub(37, 30)

GCD Euclid row2 ORIGINAL x minus qy = 7

source roles = [37, 10, 3]

derived = [30, 7, [37, 10, 7]]

GCD Euclid row3 ORIGINAL quotient times y := mul(1, 7)

GCD Euclid row3 ORIGINAL quotient times y = 7

GCD Euclid row3 ORIGINAL x minus qy := sub(10, 7)

GCD Euclid row3 ORIGINAL x minus qy = 3

source roles = [10, 7, 1]

derived = [7, 3, [10, 7, 3]]

GCD Euclid row4 ORIGINAL quotient times y := mul(2, 3)

GCD Euclid row4 ORIGINAL quotient times y = 6

GCD Euclid row4 ORIGINAL x minus qy := sub(7, 6)

GCD Euclid row4 ORIGINAL x minus qy = 1

source roles = [7, 3, 2]

derived = [6, 1, [7, 3, 1]]

GCD Euclid row5 ORIGINAL quotient times y := mul(3, 1)

GCD Euclid row5 ORIGINAL quotient times y = 3

GCD Euclid row5 ORIGINAL x minus qy := sub(3, 3)

GCD Euclid row5 ORIGINAL x minus qy = 0

source roles = [3, 1, 3]

derived = [3, 0, [3, 1, 0]]

source roles = [84, 47, [[84, 47, 37], [47, 37, 10], [37, 10, 7], [10, 7, 3], [7, 3, 1], [3, 1, 0]]]

derived = [1, 0]

逐步反向核對

• S020 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S019 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row5 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row5 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row4 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row4 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row3 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row3 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row2 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row2 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row1 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row1 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row0 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row0 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。

結論

(84, 47, [[84, 47, 37], [47, 37, 10], [37, 10, 7], [10, 7, 3], [7, 3, 1], [3, 1, 0]], 1)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。