第 31785 題：最大公因數與互質

原題與已知條件

自然數gcd。操作=gcd-euclid-trace；資料={"a":98,"b":57}。請依 [a,b,euclid_rows,gcd] 的欄序回答。

• G001 — 自然數gcd。操作=gcd-euclid-trace；資料={"a":98,"b":57}。請依 [a,b,euclid_rows,gcd] 的欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-gcd-coprime

逐步推導

source roles = [qf-ext18-gcd-euclid-trace, Nat_gcd, gcd-euclid-trace, no-form-field]

derived = [[a, b, ordered_Euclid_rows, gcd]]

GCD Euclid row0 ORIGINAL quotient times y := mul(1, 57)

GCD Euclid row0 ORIGINAL quotient times y = 57

GCD Euclid row0 ORIGINAL x minus qy := sub(98, 57)

GCD Euclid row0 ORIGINAL x minus qy = 41

source roles = [98, 57, 1]

derived = [57, 41, [98, 57, 41]]

GCD Euclid row1 ORIGINAL quotient times y := mul(1, 41)

GCD Euclid row1 ORIGINAL quotient times y = 41

GCD Euclid row1 ORIGINAL x minus qy := sub(57, 41)

GCD Euclid row1 ORIGINAL x minus qy = 16

source roles = [57, 41, 1]

derived = [41, 16, [57, 41, 16]]

GCD Euclid row2 ORIGINAL quotient times y := mul(2, 16)

GCD Euclid row2 ORIGINAL quotient times y = 32

GCD Euclid row2 ORIGINAL x minus qy := sub(41, 32)

GCD Euclid row2 ORIGINAL x minus qy = 9

source roles = [41, 16, 2]

derived = [32, 9, [41, 16, 9]]

GCD Euclid row3 ORIGINAL quotient times y := mul(1, 9)

GCD Euclid row3 ORIGINAL quotient times y = 9

GCD Euclid row3 ORIGINAL x minus qy := sub(16, 9)

GCD Euclid row3 ORIGINAL x minus qy = 7

source roles = [16, 9, 1]

derived = [9, 7, [16, 9, 7]]

GCD Euclid row4 ORIGINAL quotient times y := mul(1, 7)

GCD Euclid row4 ORIGINAL quotient times y = 7

GCD Euclid row4 ORIGINAL x minus qy := sub(9, 7)

GCD Euclid row4 ORIGINAL x minus qy = 2

source roles = [9, 7, 1]

derived = [7, 2, [9, 7, 2]]

GCD Euclid row5 ORIGINAL quotient times y := mul(3, 2)

GCD Euclid row5 ORIGINAL quotient times y = 6

GCD Euclid row5 ORIGINAL x minus qy := sub(7, 6)

GCD Euclid row5 ORIGINAL x minus qy = 1

source roles = [7, 2, 3]

derived = [6, 1, [7, 2, 1]]

GCD Euclid row6 ORIGINAL quotient times y := mul(2, 1)

GCD Euclid row6 ORIGINAL quotient times y = 2

GCD Euclid row6 ORIGINAL x minus qy := sub(2, 2)

GCD Euclid row6 ORIGINAL x minus qy = 0

source roles = [2, 1, 2]

derived = [2, 0, [2, 1, 0]]

source roles = [98, 57, [[98, 57, 41], [57, 41, 16], [41, 16, 9], [16, 9, 7], [9, 7, 2], [7, 2, 1], [2, 1, 0]]]

derived = [1, 0]

逐步反向核對

• S023 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S022 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S021 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row6 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。
• S020 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row6 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。
• S019 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S018 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row5 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。
• S017 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row5 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。
• S016 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S015 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row4 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。
• S014 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row4 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。
• S013 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row3 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row3 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row2 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row2 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row1 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row1 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row0 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row0 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。

結論

(98, 57, [[98, 57, 41], [57, 41, 16], [41, 16, 9], [16, 9, 7], [9, 7, 2], [7, 2, 1], [2, 1, 0]], 1)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。