第 31787 題：最大公因數與互質

原題與已知條件

自然數gcd。操作=gcd-euclid-trace；資料={"a":112,"b":67}。請依 [a,b,euclid_rows,gcd] 的欄序回答。

• G001 — 自然數gcd。操作=gcd-euclid-trace；資料={"a":112,"b":67}。請依 [a,b,euclid_rows,gcd] 的欄序回答。

定義與適用範圍

沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。

• mko-gcd-coprime

逐步推導

source roles = [qf-ext18-gcd-euclid-trace, Nat_gcd, gcd-euclid-trace, no-form-field]

derived = [[a, b, ordered_Euclid_rows, gcd]]

GCD Euclid row0 ORIGINAL quotient times y := mul(1, 67)

GCD Euclid row0 ORIGINAL quotient times y = 67

GCD Euclid row0 ORIGINAL x minus qy := sub(112, 67)

GCD Euclid row0 ORIGINAL x minus qy = 45

source roles = [112, 67, 1]

derived = [67, 45, [112, 67, 45]]

GCD Euclid row1 ORIGINAL quotient times y := mul(1, 45)

GCD Euclid row1 ORIGINAL quotient times y = 45

GCD Euclid row1 ORIGINAL x minus qy := sub(67, 45)

GCD Euclid row1 ORIGINAL x minus qy = 22

source roles = [67, 45, 1]

derived = [45, 22, [67, 45, 22]]

GCD Euclid row2 ORIGINAL quotient times y := mul(2, 22)

GCD Euclid row2 ORIGINAL quotient times y = 44

GCD Euclid row2 ORIGINAL x minus qy := sub(45, 44)

GCD Euclid row2 ORIGINAL x minus qy = 1

source roles = [45, 22, 2]

derived = [44, 1, [45, 22, 1]]

GCD Euclid row3 ORIGINAL quotient times y := mul(22, 1)

GCD Euclid row3 ORIGINAL quotient times y = 22

GCD Euclid row3 ORIGINAL x minus qy := sub(22, 22)

GCD Euclid row3 ORIGINAL x minus qy = 0

source roles = [22, 1, 22]

derived = [22, 0, [22, 1, 0]]

source roles = [112, 67, [[112, 67, 45], [67, 45, 22], [45, 22, 1], [22, 1, 0]]]

derived = [1, 0]

逐步反向核對

• S014 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S013 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S012 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row3 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。
• S011 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row3 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。
• S010 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row2 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。
• S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row2 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。
• S007 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row1 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。
• S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row1 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。
• S004 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。
• S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row0 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。
• S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row0 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。
• S001 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。

結論

(112, 67, [[112, 67, 45], [67, 45, 22], [45, 22, 1], [22, 1, 0]], 1)

依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。

本題覆核與來源綁定

覆核日期：2026-10-26

原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。