R0062-31737 · q-20261013-advance-20261018-r03-gcd-coprime-0037
自然數gcd。操作=gcd-common-divisor-audit；資料={"a":80,"b":90,"d":11}。請依 [a,b,d,d|a,d|b,d_is_gcd,gcd,valid] 的欄序回答。
G001 — 自然數gcd。操作=gcd-common-divisor-audit；資料={"a":80,"b":90,"d":11}。請依 [a,b,d,d|a,d|b,d_is_gcd,gcd,valid] 的欄序回答。沿用原題明示的論域、假設與來源 MKO 定義。本題已完成第二對話數理與中英語義覆核，並由原始參數逐題獨立重算模型、答案與每個算術步驟；原題仍為 candidate。
操作前
source roles = [qf-ext18-gcd-common-divisor-audit, Nat_gcd, gcd-common-divisor-audit, no-form-field]
操作後
derived = [[a, b, d, divides_a, divides_b, equals_gcd, gcd, common_AND_gcd]]
條件：無
按原bank核欄位：BASE方程用form及論域，BASE事件／補集無operation，階乘無domain；ext18用local-hyphen，其他legacy用underscore。輸出型別不統一成tuple或fraction。
規則：R62_EXACT_source_keys_domain_operation_form_AND_output_types · 依賴：G001
操作前
GCD Euclid row0 ORIGINAL quotient times y := mul(0, 90)
操作後
GCD Euclid row0 ORIGINAL quotient times y = 0
條件：無
使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S001
操作前
GCD Euclid row0 ORIGINAL x minus qy := sub(80, 0)
操作後
GCD Euclid row0 ORIGINAL x minus qy = 80
條件：無
使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S002
操作前
source roles = [80, 90, 0]
操作後
derived = [0, 80, [80, 90, 80]]
條件：無
y非0才求商餘，x=qy+r且0≤r<y。d同除x,y則同除y,r，反向由x=qy+r也成立，所以共同因數集合不變；正餘數嚴格下降，循環會終止。
規則：GCD_EUCLID_nonzero_divisor_exact_quotient_remainder_INVARIANT · 依賴：G001, S003
操作前
GCD Euclid row1 ORIGINAL quotient times y := mul(1, 80)
操作後
GCD Euclid row1 ORIGINAL quotient times y = 80
條件：無
使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S004
操作前
GCD Euclid row1 ORIGINAL x minus qy := sub(90, 80)
操作後
GCD Euclid row1 ORIGINAL x minus qy = 10
條件：無
使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S005
操作前
source roles = [90, 80, 1]
操作後
derived = [80, 10, [90, 80, 10]]
條件：無
y非0才求商餘，x=qy+r且0≤r<y。d同除x,y則同除y,r，反向由x=qy+r也成立，所以共同因數集合不變；正餘數嚴格下降，循環會終止。
規則：GCD_EUCLID_nonzero_divisor_exact_quotient_remainder_INVARIANT · 依賴：G001, S006
操作前
GCD Euclid row2 ORIGINAL quotient times y := mul(8, 10)
操作後
GCD Euclid row2 ORIGINAL quotient times y = 80
條件：無
使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S007
操作前
GCD Euclid row2 ORIGINAL x minus qy := sub(80, 80)
操作後
GCD Euclid row2 ORIGINAL x minus qy = 0
條件：無
使用原操作數與明示次序作精確整數／有理計算，不用浮點近似。輸入界依題族：不把衍生值重驗成raw輸入，也不給BASE題庫另加SAFE或n64界。
規則：exact_rational_arithmetic · 依賴：G001, S008
操作前
source roles = [80, 10, 8]
操作後
derived = [80, 0, [80, 10, 0]]
條件：無
y非0才求商餘，x=qy+r且0≤r<y。d同除x,y則同除y,r，反向由x=qy+r也成立，所以共同因數集合不變；正餘數嚴格下降，循環會終止。
規則：GCD_EUCLID_nonzero_divisor_exact_quotient_remainder_INVARIANT · 依賴：G001, S009
操作前
source roles = [80, 90, [[80, 90, 80], [90, 80, 10], [80, 10, 0]]]
操作後
derived = [10, 0]
條件：無
到第二值0時保留最後x：非零時gcd(x,0)=x，連同上面雙向共同因數不變式得到原gcd。原(0,0)採明示gcd=0慣例，不宣稱0是最大的正因數。
規則：GCD_TERMINAL_last_x_ZEROsecond_and_explicit_gcd00_convention · 依賴：G001, S010
操作前
source roles = [GCD candidate divides a, 11, 80]
操作後
derived = [否, not-applicable]
條件：無
自然數整除採d=0時只准x=0，0∣0選乘數0但不稱唯一；d非0且餘數0才列精確乘數。兩個整除旗標不自動證明最大性。
規則：GCD_DIVISIBILITY_ZERO_guard_before_natural_multiplier · 依賴：G001, S011
操作前
source roles = [GCD candidate divides b, 11, 90]
操作後
derived = [否, not-applicable]
條件：無
自然數整除採d=0時只准x=0，0∣0選乘數0但不稱唯一；d非0且餘數0才列精確乘數。兩個整除旗標不自動證明最大性。
規則：GCD_DIVISIBILITY_ZERO_guard_before_natural_multiplier · 依賴：G001, S012
操作前
source roles = [80, 90, 11, 10]
操作後
derived = [否, 否, 否, 10, 否]
條件：無
先獨立由原a,b算gcd，再比較候選d。共同因數可不是最大；答案同時保留d∣a、d∣b、d=gcd及合取旗標。
規則：GCD_AUDIT_actual_gcd_INDEPENDENT_of_candidate_common_AND_greatest · 依賴：G001, S013
S014 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。S013 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。S012 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。S011 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。S010 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。S009 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row2 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。S008 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row2 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。S007 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。S006 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row1 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。S005 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row1 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。S004 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。S003 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row0 ORIGINAL x minus qy，不以小數近似替代。S002 · premise_and_result_audit — 以精確有理數重算 GCD Euclid row0 ORIGINAL quotient times y，不以小數近似替代。S001 · premise_and_result_audit — 反向代回原輸入、欄位角色、論域及本步條件；一致性不表示結論能唯一恢復前提。有限核對、獨立審查、形式證明與發布分開標記。(80, 90, 11, 否, 否, 否, 10, 否)
依上列完整代值及條件核對得到原題答案；原題編號、格式與狀態保持不變。
覆核日期：2026-10-26
原題、答案、步驟表達式、數值 AST 與既有歷史保持原樣；原來的候選狀態屬於來源歷史，不覆寫為形式化證明。
input commit: 0f7be61e2c22317a4075561dc822c87d881a50dboriginal question SHA-256: ad4789ac97bf49841bf8b5ac96aa8c93a22cd1e6cc252e9ecb1a79f8f213c94ccandidate record SHA-256: 013725a41b2b4bcc0852cc91e9444b2bf758d379bdf756611bccb6138c6532cesemantic review receipt SHA-256: 963099ffc9f754069fdce6792949a85ed350472465eaceb3038fa8011cf672bdquestion-first witness SHA-256: d7655324c5d11528e1af90b757384cebd3313e19dc5f6f5b9b8ea7624fb06f6fLean: NOT_RUN · human review: NOT_PERFORMED